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uchinyan |
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#30705 dobaさん
#30706 25no12さん 問題，予想のまとめなど，ありがとうございます。 基本的には同じだと思いますが，私は，#30706の方向で予想していました。 すごく粗いアイディアですが．．． p(n) = 1/a(1) + 1/a(2) + ... + 1/a(n) として，p(n) = k/(k+1) と書けるならば，p(n) + 1/(k+1) = 1 なので， 1 より小の最大には，a(n+1) = k+2 とおくことになり， p(n+1) = p(n) + 1/a(n+1) = k/(k+1) + 1/(k+2) = (k^2 + 3k + 1)/(k+1)(k+2) = {(k+1)(k+2) - 1}/(k+1)(k+2) = 1 - 1/(k+1)(k+2) となるので， p(1) = 1 - 1/2 = 1/2, p(2) = 1 - 1/6 = 5/6, p(3) = 1 - 1/42 = 41/42, p(4) = 1 - 1/(42*43) = 1 - 1/1806 = 1805/1806 と合わせて，この系列に入る候補は，皆さんの予想に合致すると思われます。 しかしもちろん，dobaさんのご指摘のように，この系列から外れるものがあるので話はそう簡単にはいきません。 ただ，実際に場合分けを行った経験からすると， こうした理想的でない候補は分母が予想の値より小さい k/(k+1) 又はそれを含むある種の形式，になりそうで， そうならば，予想の値より小さくなることが示せそうです。 しかし，最後の部分は不明な部分も多く，予想外の形式での出現の可能性も否定できず，証明は闇の中，という感じです．．． |
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ネコの住む家
9月13日（木） 21:50:15
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