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doba |
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今回の答え、及び、Ｎ＝４の場合の答えは、まとめると次のような系列となります。
Ｎ＝１： 1/2（＝1 - 1/2） Ｎ＝２： 1/2 + 1/3（＝1 - 1/6） Ｎ＝３： 1/2 + 1/3 + 1/7（＝1 - 1/42） Ｎ＝４： 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43（＝1 - 1/1806） この続きを考えると、次のような予想が立ちます。 「数列{a(n)},{b(n)}が次のような漸化式を満たすとする。 a(1)＝2 a(n+1)＝a(n)^2-a(n)+1 b(1)＝2 b(n+1)＝b(n)^2+b(n) 自然数Ｎについて、 x(1)≦x(2)≦…≦x(N)であり、 p=1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N) がp＜1を満たすようなＮ個の自然数の組x(1)…x(N)を考えると、 その中でpが最大になるのは、 x(k)=a(k)（k=1,…,N）の場合で、 そのときp=1-1/b(N)となる。」 以下、あくまでも予想ですが、 このケースが他の場合と比べて特に言えることをさらにいくつか追加した上で、 全部ひっくるめてNに関する数学的帰納法で証明できそうな気はします。 が、数論的な、結構やっかいな議論になりそうです。 追加する命題として、これが言えればいいなと思っているのは、 次のようなものです。 「自然数の組x(1)…x(N)が、x(1)≦x(2)≦…≦x(N)であり、 1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N) ＜１ 1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/(x(N)-1) ≧１ を満たすとき、 1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N)＝1-m/n（ただし、m/nは既約分数） とおくと、n≦b(N)」 今回は、ちょっとこれ以上検討する根性はありません(^^; ただ、直感的に、b(N)が、すごい勢いで大きくなるので、 反例が見つかるとはなかなか思えません。 |
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9月13日（木） 19:20:50
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