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難波 |
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明らかに数学ですが
a<=b<=c として一般性を失わない。 条件より 1/a＋1/b＋1/c＜1…(＃) a,b,cを(＃)を満たす数で1/a＋1/b＋1/c が最大のものとする。 このとき、1/c＜1/(c−1) であるがa,b,cの条件から 1/a＋1/b＋1/(c−1)>=1…(＄) (もし、1/a＋1/b＋1/(c−1)<1 であれば 1/a＋1/b＋1/c＜1/a＋1/b＋1/(c−1)＜1 となり 1/a＋1/b＋1/c の最大性に矛盾) (＄)より 1/a＋1/a＋1/(a−1)>=1/a＋1/b＋1/(c−1)>=1 すなわち 1/a＋1/a＋1/(a−1)>=1 これはaの２次不等式である。これを解くと、aは整数よりa＝1,2,3 1)a＝1のとき 明らかに不適 2)a＝2のとき (＄)より 1/2＋1/b＋1/(c−1)>=1 すなわち 1/b＋1/(c−1)>=1/2…(％) 以下、同様に(％)より 1/b＋1/(b−1)>=1/2 これを解き、bの候補を絞り(＃)と(％)からcを求める。 すると(a,b,c)＝(2,3,7),(2,4,5),(3,3,4)が求まる。 それぞれの逆数の和は 41/42, 19/20, 11/12 それぞれを1から引くと 1/42, 1/20, 1/12 となりこの数が一番小さくなる41/42 が求める数である。 |
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9月13日（木） 11:00:33
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