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何かと私は勘違いしてるのでしょうか
点Qは点Oに関する点のP(1,t,0) (0≦t≦1)の対称点だから点P、Q以外の他の点はZ軸上にある。その一点Rをz軸正上にOR=OQ=OP=√(1+t^2)なるR(0,0,√(1+t^2))とおく。 求める体積は点PがOからAまで動くとき△OPRの通る領域の体積の16倍である。 線分PR上の点をWとすると(ベクトルを→で表記) OW→=OP→+kPR→=(1,t,0)+k(-1,-t,√(1+t^2)) (0≦k≦1,0≦t≦1) z=hのときk√(1+t^2)=h⇔k=h/√(1+t^2)。0≦k=h/√(1+t^2)≦1より0≦h≦√(1+t^2) このときOW→=(1-h/√(1+t^2),t(1-h/√(1+t^2)),h) hを固定させて0≦Y≦XからWとx軸で囲まれる領域を取り除いた領域が切断面である。。 とくにz=hでのWのx,y座標をそれぞれX,Yとする。 X=1-h/√(1+t^2),Y=t(1-h/√(1-t^2)) 前者から(1+t^2)(1-X)^2=h^2,X=1のときh=0。X≠1のとき0≦X＜1。*t=√(h^2-(1-X)^2/(1-X)。 *tの存在条件よりh^2-(1-X)^2≧0⇒1-h≦X＜1 Y=tX=X√(h^2-(1-X)^2/(1-X)・・・�� {0≦Y≦X 、0≦X<1}・・・�� ��,�△鯔�たす領域が点Wの動く領域である。 Y=Xのときt=1ゆえY=X=1-h/√2 (i)0≦h≦1のとき1-h≦X≦1-h/√2 (ii)1≦h≦√2のとき0≦X≦1-h/√2 (i)のとき点WがX軸に囲まれる領域の面積をSとおくと S=∫[1-h,1-h/√2]YdX 1-X=X’とおいて置換して-dX=dX’, X’ h → h/√2 S=∫[h/√2 ,h] (1-X)√(h^2-X^2)/X dX =∫[h/√2 ,h]√(1-X^2)/X - √(h^2-X^2) dX 以下計算を続けるとhで積分するときsinα=√(h^2-1)/hとするときαをhで積分する項があらわれたのですが。 ルートやら分数がいっぱいあるのでtexでまとめてみます。 |
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8月28日（火） 16:50:25
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