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uchinyan |
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#30563，#30566，#30567他
なるほど。#30566，#30567のような場合は，また異なってきますね。 えと，#30563に戻って。誤読なされていたとのことなのでそのせいだと思いますが．．． z では arcsin の積分が出てくるとのことでしたのでθでの積分を考えましたが，z で考えてもそうはならないようです。 まず，得られる立体は，P が 正方形の辺の (1,0,0) と A(1,1,0) とにある場合の 8 倍です。 PQ でできる正方形の縦(z)の長さは，P = A のとき最大で 2√2，P = (1,0,0) のとき最小で 2 です。 これを踏まえて，z軸に垂直な平面で切って考えます。 ・0 <= z <= 2 のとき 明らかに断面は 2 * 2 の正方形で，体積 v1 は v1 = 2 * 2 * 2 = 8 になります。 ・2 <= z <= 2√2 のとき P が A(1,1,0) と (1,0,0) の範囲で考えて，後で 8 倍します。 すると断面は，△PAO と合同な三角形です。 OP = z/2，cosθ= 1/OP = 2/z，OA = √2 なので， △PAO = 1/2 * OP * OA * sin(45-θ) = 1/2 * z/2 * √2 * (1/√2 * cosθ - 1/√2 * sinθ) = 1/2 - 1/2 * z/2 * √(1 - (2/z)^2) = 1/2 - 1/4 * √(z^2 - 4) そこでこの範囲の 1/8 した体積 v2 は， v2/8 = ∫[2 〜 2√2]{1/2 - 1/4 * √(z^2 - 4)}dz = (√2 - 1) - 1/4 * ∫[2 〜 2√2] √(z^2 - 4)}dz ここで，第二項の積分ですが．．．これは，ぎりぎり高校の範囲かな。 幾つか方法があります。まぁ，知らないと厳しいですが，一番簡単な方法で。 I = ∫√(z^2 - 4)dz 部分積分で I = ∫√(z^2 - 4)dz = z * √(z^2 - 4) - ∫z^2/√(z^2 - 4)dz = z * √(z^2 - 4) - ∫4/√(z^2 - 4)dz - I I = 1/2 * {z * √(z^2 - 4) - 4 * ∫1/√(z^2 - 4)dz} 最後の積分は，t = z + √(z^2 - 4) とおくと，dt/dz = 1 + z/√(z^2 - 4) = t/(t-z), dz/dt = (t-z)/z なので， ∫1/√(z^2 - 4)dz = ∫1/(t-z) * (t-z)/t dt = ∫1/t dt = log(t) = log(z + √(z^2 - 4)) そこで， I = 1/2 * {z * √(z^2 - 4) - 4 * log(z + √(z^2 - 4))} これより， v2/8 = (√2 - 1) - 1/4 * [1/2 * {z * √(z^2 - 4) - 4 * log(z + √(z^2 - 4))}][2 〜 2√2] = (√2 - 1) - 1/4 * [1/2 * {2√2 * √(4) - 4 * log(2√2 + √(4))} - 1/2 * {2 * √(0) - 4 * log(2 + √(0))}] = (√2 - 1) - 1/4 * {2√2 - 2 * log(2√2 + 2) + 2 * log(2)} = 1/2 * √2 - 1 + 1/2 * log(√2 + 1) そこで 8 倍して v2 = 4√2 - 8 + 4log(√2 + 1) 以上より，二つの場合を足して， V = v1 + v2 = 4√2 + 4log(√2 + 1) になります。 z でやってできるのだから，この方がいいでしょうね。 |
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ネコの住む家
8月28日（火） 11:30:24
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