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uchinyan |
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#30563
xy平面上で原点 O と P を結んだ OP と x軸 とのなす角をθとします。すると，得られる立体は 0 <= θ <= π/4 の範囲の 8 倍です。 今，θで積分することを考えます。これが，高校の範囲を超えているのかどうか，私には分からないです。 受験に詳しい方，どうなのでしょうか？ 立体は，OP を含み xy平面 に垂直な平面，これはθが動く方向に垂直，で切ると， 横 OP = 1/cosθ，縦(z) 2 * OP = 2/cosθ の長方形になります。 積分する断片は，この長方形二つにはさまれたもので，dθの範囲の微小な扇形に縦(z)方向をかけた微小立体になるので， その体積は，1/2 * OP^2 * dθ * (2 * OP) = OP^3 * dθ = 1/(cosθ)^3 * dθ です。 これを，θ が 0 〜 π/4 で積分したものが，求める立体の体積 V の 1/8 です。 V/8 = ∫[0 〜 π/4] 1/(cosθ)^3 dθ この積分自体は，高校の範囲でできるのではないのでしょうか。 x = sinθ とおくと，dx/dθ = cosθ，dθ/dx = 1/cosθ，(cosθ)^2 = 1 - (sinθ)^2 = 1 - x^2 なので， V/8 = ∫[0 〜 1/√2] 1/(1 - x^2)^2 dx 1/(1 - x^2)^2 = 1/4 * {1/(1+x) + 1/(1-x) + 1/(1+x)^2 + 1/(1-x)^2} なので， V/8 = ∫[0 〜 1/√2] 1/4 * {1/(1+x) + 1/(1-x) + 1/(1+x)^2 + 1/(1-x)^2} dx V/2 = ∫[0 〜 1/√2] {1/(1+x) + 1/(1-x) + 1/(1+x)^2 + 1/(1-x)^2} dx = {log(1+x) - log(1-x) - 1/(1+x) + 1/(1-x)} [0 〜 1/√2] = log(1 + 1/√2) - log(1 - 1/√2) - 1/(1 + 1/√2) + 1/(1 - 1/√2) = log{(√2 + 1)/(√2 - 1)} - √2/(√2 + 1) + √2/(√2 - 1) = log{(√2 + 1)^2} + {- √2 * (√2 - 1) + √2 * (√2 + 1)} = 2log(1 + √2) + 2√2 V = 4√2 + 4log(1 + √2) |
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ネコの住む家
8月27日（月） 17:48:03
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