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doba |
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#30411，#30412，#30413
たぶん、uchinyanさんとほとんど同じやりかただと思います。 x＝[a/b]+[2a/b]+…+[ka/b]+…+[(b-2)a/b]+[(b-1)a/b] とすると、並び順を反転させて x＝[(b-1)a/b]+[(b-2)a/b]+…+[(b-k)a/b]+…+[2a/b]+[a/b] 順次足すと 2x＝{[a/b]+[(b-1)a/b]}+…+{[ka/b]+[(b-k)a/b]}+…+{[(b-1)a/b]+[a/b]} ここで、1≦k≦b-1である整数kについて、aとbが互いに素なので、kaはbで割り切れない。 （∵もしn=ka/bとなる整数nがあるならば、aとbが互いに素なので、kはbの倍数となり、1≦k≦b-1と矛盾） したがって、ka/bは整数ではなく、 ka/b＝[ka/b]+tとおいたとき 0＜t＜1となる。 (b-k)a/b＝a-ka/b＝a-[ka/b]-t＝a-[ka/b]-1+(1-t) a-[ka/b]-1は整数で、0＜1-t＜1なので、 [(b-k)a/b]＝a-[ka/b]-1 ∴[ka/b]+[(b-k)a/b]＝a-1 これを用いると、 2x＝{[a/b]+[(b-1)a/b]}+…+{[ka/b]+[(b-k)a/b]}+…+{[(b-1)a/b]+[a/b]} ＝(b-1)(a-1) x＝(b-1)(a-1)/2 となります。 ガウス記号で削られる分を足して１になるペアを作っていくというのがミソですね。 |
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7月27日（金） 5:10:41
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