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uchinyan |
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#30334
あっててよかった (^^; スモークマンさんの解法ですが，今一つ理解できていないのですが，どうも，a1 > a2 > a3> ... > an を仮定しているような気がします。 多分，それを導こうとなさっているようなのですが，そのロジックがおかしい，理解できない，です．．． ちなみに，n = 2 の場合で具体的に調べてみると， a1/(1 + a1) - a2/(1 + a1 + a2) = (a1^2 + a1 - a2)/((1 + a1)(1 + a1 + a2)) より， 1) a1^2 + a1 - a2 >= 0 の場合 a1/(1 + a1) >= a2/(1 + a1 + a2) なので，A = a2/(1 + a1 + a2) としてOKです。 そしてこのとき，a1 + a2 = 1 なので， a1^2 + a1 - a2 >= 0 (1 - a2)^2 + (1 - a2) - a2 >= 0 a2^2 - 4 * a2 + 2 >= 0 (a2 - 2 - sqrt(2))(a2 - 2 + sqrt(2)) >= 0 明らかに 0 < a2 <= 1 なので，0 < a2 <= 2 - sqrt(2) です。そこで， A = a2/(1 + a1 + a2) = a2/(1 + 1) = a2/2 <= (2 - sqrt(2))/2 = 1 - 1/sqrt(2) 2) a1^2 + a1 - a2 < 0 の場合 a1/(1 + a1) < a2/(1 + a1 + a2) なので，A = a1/(1 + a1) としてOKです。 そしてこのとき，a1 + a2 = 1 なので， a1^2 + a1 - a2 < 0 a1^2 + a1 - (1 - a1) < 0 a1^2 + 2 * a1 - 1 < 0 (a1 + 1 - sqrt(2))(a1 + 1 + sqrt(2)) < 0 明らかに 0 < a1 <= 1 なので，0 < a1 <= sqrt(2) - 1 です。そこで， A = a1/(1 + a1) = 1 - 1/(1 + a1) < 1 - 1/(1 + sqrt(2) - 1) = 1 - 1/sqrt(2) そこで，A の最大値は 1 - 1/sqrt(2) = 1 - (1/2)^(1/2) となり，一般の場合の n = 2 であることが分かります。 この例も合わせて吟味してみてください。 ちなみに，私はまずこの例をやってみて，それもヒントの一つになって#30333にたどり着きました。 |
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ネコの住む家
7月22日（日） 15:34:30
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