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uchinyan |
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#30326＆#30332
やはり，「正の実数」なのですね。 う〜む，これは難しいです．．． 昨日は，逆数をとって相加相乗平均とかいろいろ考え，いいところまでいったのですが，等号条件が不成立で沈没しました。 そして，今朝から考えていてこれでどうかなぁ，という解法。これならば，一応，等号成立もOKのようです。 まず，A は最小値なので，少なくとも， a(1)/(1 + a(1)) >= A a(2)/(1 + a(1) + a(2)) >= A a(3)/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) >= A ... a(n)/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n)) >= A がいえます。それぞれの左辺は，変形すると， 1 - 1/(1 + a(1)) >= A 1 - (1 + a(1))/(1 + a(1) + a(2)) >= A 1 - (1 + a(1) + a(2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) >= A ... 1 - (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1)) >= A 1 - (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-1))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n)) >= A と書けます。そこで， 1 - A >= 1/(1 + a(1)) 1 - A >= (1 + a(1))/(1 + a(1) + a(2)) 1 - A >= (1 + a(1) + a(2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) ... 1 - A >= (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1)) 1 - A >= (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-1))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n)) これから，両辺とも正なので両辺をかけて (1 - A)^n >= 1/(1 + a(1)) * (1 + a(1))/(1 + a(1) + a(2)) * (1 + a(1) + a(2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) * ... * (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1)) * (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-1))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n)) ここで右辺の分子と分母がうまく相殺して！，そうなるように変形したのですが何か感激 ^^; (1 - A)^n >= 1/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n)) = 1/(1 + 1) = 1/2 最後は，a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n) = 1 を使いました。そこで，実数の範囲なので， 1 - A >= (1/2)^(1/n) A <= 1 - (1/2)^(1/n) そこで，もし等号が成立すれば，A の最大は 1 - (1/2)^(1/n) になります。 しかし，等号が成立しない場合には，単に，上限を与えているに過ぎません。そこで，等号成立を調べます。 等号が成立する場合は，式変形を見れば分かりますが，結局，すべての項が A に等しい場合なので， a(1)/(1 + a(1)) = a(2)/(1 + a(1) + a(2)) = a(3)/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) = ... = a(n)/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n)) = A の場合です。このとき， a(1) = A/(1 - A), a(2) = A/(1 - A) * (1 + a(1)), a(3) = A/(1 - A) * (1 + a(1) + a(2)), ..., a(n) = A/(1 - A) * (1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1)) なので，a(1), a(2), ..., a(n) は A で表せます。実際に計算してみると，きれいになって a(1) = A/(1 - A), a(2) = A/(1 - A)^2, a(3) = A/(1 - A)^3, ..., a(n) = A/(1 - A)^n これと， a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n) = 1 を連立させて解くと， A/(1 - A) + A/(1 - A)^2 + A/(1 - A)^3 + ... + A/(1 - A)^n = 1 A/(1 - A) * {(1 - 1/(1 - A)^n)/(1 - 1/(1 - A))} = 1 A * {(1 - 1/(1 - A)^n)/(1 - A - 1)} = 1 1/(1 - A)^n - 1 = 1 (1 - A)^n = 1/2 1 - A = (1/2)^(1/n) A = 1 - (1/2)^(1/n) で，確かに A の値が再現します。 そしてこのとき，この A を使って a(1), a(2), a(3), ..., a(n) が確かに実数の範囲で存在するので，等号が成立します。 最後はゴチャゴチャしましたが，これで等号成立が保証されたので，結局，A の最大値は 1 - (1/2)^(1/n) になります。 これでどうでしょうか？ |
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ネコの住む家
7月22日（日） 14:27:04
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