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uchinyan |
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#30316
まず明らかに，互いに素かどうかを調べる自然数は素数に限ってOKです。 なぜならば，一般に公約数があれば素数を含み，素数の場合に帰着するので。 そこで，素数について考えます。 a(n) = 2^n + 3^n + 6^n - 1 (n = 1, 2, ...) において， a(1) = 2 + 3 + 6 - 1 = 10, a(2) = 4 + 9 + 36 - 1 = 48 なので，2, 3, 5 とは互いに素ではないです。そこで，p を 7 以上の素数とします。 すると，2, 3, 6 は p と互いに素なので，フェルマーの小定理より，mod p で 2^(p-1) ≡ 1, 3^(p-1) ≡ 1, 6^(p-1) ≡ 1 そこで，ここが一工夫ですが．．．かなり考えてからひらめいた ^^/ 6 * a(p-2) = 6 * (2^(p-2) + 3^(p-2) + 6^(p-2) - 1) = 3 * 2^(p-1) + 2 * 3^(p-1) + 6^(p-1) - 6 ここで mod p をとると， 6 * a(p-2) ≡ 3 * 1 + 2 * 1 + 1 - 6 = 6 - 6 = 0 つまり，6 * a(p-2) は p で割り切れます。p は 6 と互いに素だったので，a(p-2) は p で割り切れます。 以上で結局，すべての素数に対して互いに素でない a(n) が存在することが分かったので， 互いに素な自然数は 1 だけになります。 |
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ネコの住む家
7月20日（金） 15:57:47
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