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uchinyan |
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#30028
スモークマンさんへ： 私の#30027は，直感的には明らかだと思うし間違いではないですが，証明という意味では雑でした。 厳密には，数学的帰納法を使えばいいと思います。(9 の出現の仕方の帰納法。でも，書き下すのは結構面倒そう．．．) 友人さんの解法は，なるほど，これをもっとうまくいっているようです。ただし，ケアレスミスがあるようですが。 私の解釈ですが．．． ＞f(n) = n + S(n) とおく。n の末尾の数（１の位の数）が 9でなければ、 f(n+1) = f(n) + 2 であり、n の末尾の数が9ならば、f(n+1) < f(n) である。 これは，私の議論と同じです。これから結局，f(n+1) <= f(n) + 2 です。 ＞f(1) = 2 で、f(n) > n だから、任意の2以上の自然数 m を選ぶとき、f(n) ≦ m を満たす最大の自然数 n が存在する。 n < n + S(n) = f(n) なので，n が増えれば f(n) は単調増加ではないにしても増加します。 そこで，2 以上の自然数 m を決めれば，いつかは，f(n) は m を超えます。 f(n) は単調増加ではないので，m を超えたり戻ったりの可能性はありますが，n < f(n) なので， 少なくとも m <= n となれば，確実に，m < f(n) です。 したがって，どこかで，f(n) <= m が完全にいえなくなり，その一つ前では f(n) <= m となる n が存在し， n+1 に対しては m < f(n+1) となるはずです。それが，f(n) <= m となる最大の n の意味だと思います。 ＞m < f(n+1) で、f(n+1) ≦ f(n) + 2 だから、f(n) ≠ m ならば、f(n) = m+1 となる。 n+1 では m を超えるので m < f(n+1) です。これから，m < f(n+1) <= f(n) + 2 <= m + 2 です。 ただし，最後の不等号の等号は，f(n) = m となる n があった場合です。 m を与えて f(n) となる n があれば，その n をとってくればいいです。 一方，f(n) not= m の場合は，先ほどの式は， m < f(n+1) <= f(n) + 2 < m + 2 最後の不等号には等号が付きません。となると，f(n+1) は自然数で m と m+2 の間にあるので，f(n+1) = m+1 です。 つまり，m の隣の自然数 m+1 に対して題意を満たす自然数 n+1 が存在することを示しています。 これで，隣り合う自然数の少なくとも一方は n + S(n) とかけることが分かります。 なお，友人さんの最後の「f(n) = m+1」は，f(n+1) = m+1 のミスだと思います。 |
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ネコの住む家
6月21日（木） 13:47:10
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