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ちゃーみー |
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0 - 1 - 1 - 2 - … と逆にたどっていくことを考える。
順に a(1), a(2), a(3), a(4)，… とする。 a(1) 〜 a(4) を上のように定め， a(n+2) = a(n+1) ± a(n) … ● で定めていく (ただし，複号の - は a(n+1) > a(n) の場合のみ)。 こうして m 項目まで得られた数列を逆から見ると， 最初の 「差が 1」 以外の条件をすべて満たしている。 「m 項目で初めて 0 となる，題意を満たす数列」 と， 「上記の数列のうち a(m) > a(m-1) を満たすものの各項を 1/(a(m) - a(m-1)) 倍して逆から見たもの」 は 1 対 1 に対応する。 [本当はきちんと証明したほうがいいのだろうけど省略] m 項目までの数列のうち，m 項目が ● の + で定められたものが p(m) 個 (このとき a(m) > a(m-1) : これが解の個数に対応)， - で定められたものが q(m) 個 (このとき a(m) < a(m-1)) あるとする。 p(m+1) = p(m) + q(m) (a(m) まで定まっていれば自動的に a(m) + a(m-1) は OK)， q(m+1) = p(m) (こちらは a(m) > a(m-1) でないと定まらない) が成立するので，これらの漸化式 (と初期値) を用いて 解の個数を表す p(m) がフィボナッチ数列であることが示される。 あまりに簡単にいったので，どこか間違えているかもしれません。 |
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自宅
6月21日（木） 2:05:10
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