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uchinyan |
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#30025
今，少し退屈な会議中．．．(^^; (1) mod 9 で考えると n ≡ S(n) で，1980 は 9 の倍数なので，n ≡ 0 です。 そこで，n として，1980 - 9 = 1971, 1980 - 18 = 1962 と調べていくと，1962 でうまくいきます。 つまり，1962 + S(1962) = 1980 で存在します。 (2) ちょっと直感的ですが．．． n = 1, 2, ..., 9 に対して n + S(n) = 2, 4, ..., 18 となり，2 ずつ増えていきます。 これは，隣り合う二つの自然数の片方になっているので，題意を満たします。 さらに n が一つ増えると桁上がりがあり，n = 10 になって，10 + S(10) = 11 と減ります。 しかしこれは，先ほどの 2 〜 18 の中に入っています。 そして，n = 11, 12, ..., 19 では n + S(n) = 13, 15, ..., 29 となり，再び 2 ずつ増えていきます。 そこで，10 + S(10) = 11 が 2 〜 18 の中に入っていることから，うまく連続してこれも題意を満たします。 このように，下一桁が 9 でない場合には，n -> n+1 とすると，桁上がりがないので S(n+1) = S(n) + 1 がいえ， n + S(n) -> (n+1) + S(n+1) = (n + S(n)) + 2 となって 2 ずつ増えます。 しかし，下一桁が 9 の場合には桁上がりがあるので n + S(n) が減ります。 減り方は，下一桁から上位桁に向かって 9 がいくつ続くかに依存します。 今，n = ab…c9…k個…9，k >= 1，c は 9 でない，とすると，n+1 で ab…(c+1)0…k個…0 となるので， n + S(n) = ab…c9…k個…9 + (a + b + ... + c + 9k) (n+1) + S(n+1) = ab…(c+1)0…k個…0 + (a + b + ... + c + 1) で，n -> n+1 で 2 - 9k だけ変化，9k - 2 だけ減ります。 しかし，明らかに， 2 < ab…(c+1)0…k個…0 + (a + b + ... + c + 1) < ab…c9…k個…9 + (a + b + ... + c + 9k) つまり， 2 < (n+1) + S(n+1) < n + S(n) なので，うまく 2 ずつ増えていく領域に入り，そこから再度 2 ずつ増えていくので， 連続して隣り合う自然数の少なくとも一方は，常に n + S(n) の形に書けることになります。 実際には，n:(n+S(n)) として， 1:2, 2:4, 3:6, 4:8, 5:10, 6:12, 8:16, 9:18, 10:11, 11:13, 12:15, 13:17, 14:19, 15:21, 16:23, 17:25, 18:27, 19:29 20:22, 21:24, 22:26, 23:28, 24:30, 25:32, 26:34, 27:36, 28:38, 29:40 ... 90:99, 91:101, 92:103, 93:105, 94:107, 95:109, 96:111, 97:113, 98:115, 99:117 100:101, 101:103, 102:105, 103:107, 104:109, 105:111, 106:113, 107:115, 108:117, 109:119 110:112, 111:114, 112:116, 113:118, 114:120, 115:122, 116:124, 117:126, 118:128, 119:130 ... となっていきます。 |
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ネコの住む家
6月20日（水） 16:20:45
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