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#30018 スモークマンさん
補題１「aとdが自然数、pを素数として、 a,a+d,…,a+(p-1)dのp個の数がいずれもpの倍数でないならば、 dはpの倍数である。」 補題２「aとdが自然数、pを素数として、 a,a+d,…,a+(2p-1)dの2p個の数が全て素数ならば、 dはpの倍数である。」 補題１の証明 もし、dがpで割り切れなければ、 a,a+d,…,a+(p-1)dのp個の数は、いずれもpで割ると余りが異なるので、 この中に必ずpで割り切れる数が存在することになり、条件に反する。 よって、dはpの倍数である。 補題２の証明 もし、dがpで割り切れなければ a,a+d,…,a+(p-1)dのp個の数の中には必ずpで割り切れるものが存在し、 a+pd,a+(p+1)d,…,a+(2p-1)dのp個の数の中にも必ずpで割り切れるものが 存在する。 すなわち、a,a+d,…,a+(2p-1)dの2p個の数の中には、 pで割り切れる異なる２つの数が存在することになり、 少なくともそのうちのどちらかは素数でないことになるので、条件に反する。 よって、dはpの倍数である。 これらを踏まえ、与えられた命題と等価な次の命題を証明します。 「aとdが自然数で、a,a+d,a+2d,…,a+11dの12個が全て素数ならば、 d≧2000である」 補題２より、dは2,3,5のいずれの倍数でもある。 よって、d≧30 a+d,a+2d,…,a+7dの７個の数は、いずれも30より大きい素数なので、 7では割り切れない。 よって、補題１より、dは7の倍数である。 a+d,a+2d,…,a+11dの11個の数は、いずれも30より大きい素数なので、 11では割り切れない。 よって、補題１より、dは11の倍数である。 以上より、dは2,3,5,7,11の公倍数となり、 d≧2×3×5×7×11＝2310 証明終 ちなみに、スモークマンさんが「具体例」とおっしゃっているのは、ｎ＝10となる例ということでしょうか？今回証明するのは、あくまでもｎが10以下でしかありえないことであって、ｎ＝10である実例が存在することが保証されているわけではないと思います。 もし、ｎ＝10となる例が存在するとしたら、a=11で、dが210の倍数であることは明らかなので、その条件を満たす全ての場合をチェックして見つからなければ、そのような例はない（すなわち、ｎ≦９である）ということになるでしょう。 |
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6月18日（月） 13:21:12
30019 |