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uchinyan |
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#29895
ごめんなさい。 x, y を陽に偶数奇数に分けなくてもいいと思いますが，結局は似たような議論，場合分け，かえって複雑？，になるようです (^^; 私が思った証明。p が q を割り切ることを p | q と書きます。 x^n + y^n = (x^n - y^n) + 2 * y^n n は偶数なので，因数定理より，明らかに，x + y | x^n - y^n がいえます。 x + y と 2 * y^n とが共通因数 a not= 1 をもつとすると，a | 2 * y^n から a | y or a | 2 or (a = 2b and b not= 1 and b | y) です。 a | y の場合は，a | x + y なので，a | x です。しかし，これは，x, y が互いに素，ということと矛盾します。 a | 2 の場合は，a = 2 ですが，x + y がこれ以外の 1 でない因数をもつと，x + y | x^n + y^n のためには最初の場合に帰着し矛盾です。 そこで，x + y = 2 しかありえませんが，これは，xy not= 1 に矛盾します。 b | y の場合は，最初の場合に帰着します。 したがって，右辺は，x + y を因数にもたないので，x^n + y^n も x + y を因数にもちません。 なお，これは，dobaさんのヒントに従った証明ですが， 問題を見て最初に思い付いた証明は少し違って， x^n + y^n = (x + y) * (x^(n-1) + y^(n-1)) - xy * (x^(n-2) + y^(n-2)) を使うものです。 同じような議論で x + y が xy と互いに素なことがいえるので，x + y が x^2 + y^2 を割り切るかどうかに帰着します。 そして， x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy より，x + y が 2 を割り切るかどうかに帰着し，x + y = 2 がありえないことから証明される，というものです。 (ちょっと追加) x, y は正の整数から明らかなのでうっかりしていましたが，x + y は 2 以上の整数 です。 上記の議論では，随時これを補って頂く方が正確ですね。 (追加終わり) なお，#29872の一問目は，最初見たときから，dobaさんと同様の解法を思いつきました。 |
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ネコの住む家
5月24日（木） 16:48:17
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