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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
パッと思いついたのは，数学ですが， 五角形を △EAB，△EBC，△ECD に分割し， 三平方の定理から EB，EC が分かるので，△EBC で cos∠BEC を求め，sin∠BEC を求め， それぞれの三角形の面積を計算し合計する， という解法でした。計算が死にますが，8400 cm^2 になります。 しかも，角Ｂ＋角Ｅ＝１８０°の条件を使っていない！ ということは，この条件は余分ですが，うまく使って算数であっさりかな，と思いました。 しかしその後，あちらこちらに補助線を引っ張ってみたものの，なかなか。 いろいろやって，五角形を △EAB，△EBC，△ECD に分割する方向 ＆ 角Ｂ＋角Ｅ＝１８０°の条件で，結局．．． 破線の 3：4：5 の直角三角形の直角の頂点を P とし， BC の C の方への延長と ED の D の方への延長との交点を Q とします。 まず，PB = 90 * 3/5 = 54 cm，PA = 90 * 4/5 = 72 cm です。 また， ∠EAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDE + ∠DEA = 五角形ABCDE の内角の和 = 540° ∠CDE = 90° ∠ABC + ∠DEA = 180° ∠PAB + ∠EAB = 180° ∠QCD + ∠BCD = 180° より， ∠PAB + ∠QCD = 90° になります。そこで，∠QDC = 90°に注意すると，∠DQC = ∠PAB です。 つまり，△QCD ∽ △ABP で，△QCD は，CD：DQ：QC = 3：4：5 の直角三角形です。 そこで，QD = 84 * 4/3 = 112 cm，QC = 84 * 5/3 = 140 cm です。 さらに，E から BC に垂線を下ろしその足を H とすると，明らかに，△QEH ∽ △QCD で， △QEH も EH：HQ：QE = 3：4：5 の直角三角形です。 そこで，EH = QE * 3/5 = (QD + DE) * 3/5 = (112 + 56) * 3/5 = 504/5 cm です。 以上より， 五角形ABCDE = △EAB + △EBC + △ECD = 1/2 * EA * BP + 1/2 * BC * EH + 1/2 * DE * CD = 1/2 * 56 * 54 + 1/2 * 90 * 504/5 + 1/2 * 56 * 84 = 56 * 69 + 9 * 504 = 3864 + 4536 = 8400 cm^2 角Ｂ＋角Ｅ＝１８０°の条件を使わないで算数でやるのは思いつきませんでした。 どうやるのかな？ |
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ネコの住む家
5月10日（木） 12:10:26
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