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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜ん，答えはプログラムを組んでしまえば簡単に出ますが，純粋な算数はよく分からず。以下，数学混じりの解法です。 条件を満たす数を○とすると，△を整数，自然数かな，として， ○×○＝280×△＋1 ○×○−1＝280×△ (○−1)×(○＋1)＝280×△＝8×5×7×△ さすがに最後の因数分解は数学だと思います。以下は，何とか算数かなぁ。 明らかに，○は奇数です。このとき，○−1，○＋1はともに偶数で片方は４の倍数なので左辺は８の倍数です。 そこで，(○−1)×(○＋1)が35の倍数になることが必要十分です。これは， (1) ○−1＝５の倍数 かつ ○＋1＝７の倍数 -> ○＝５の倍数＋1 かつ ○＝７の倍数−1 (2) ○−1＝７の倍数 かつ ○＋1＝５の倍数 -> ○＝７の倍数＋1 かつ ○＝５の倍数−1 (3) ○−1＝35の倍数 -> ○＝35の倍数＋1 (4) ○＋1＝35の倍数 -> ○＝35の倍数−1 のいずれかです。ただし，○は奇数です。 そこで，７の倍数に注目して調べてみます。 これが，○−1 又は ○＋1 になればいいので，実際には，14の倍数を考えればいいです。 ３桁の最小のこのような数は 112 = 14 * 8 です。これは，○＝111 で，(1)を満たします。 次に同じ(1)の状況になるのは，○−1＝５の倍数となることを考慮すると，14 * 5 = 70 増えた場合です。実際， 112 = 14 * 08 : ○−1＝110，○＝111，○＋1＝112，(1) 126 = 14 * 09 : NG 140 = 14 * 10 : ○−1＝138，○＝139，○＋1＝140，(4) or ○−1＝140，○＝141，○＋1＝142，(3) 154 = 14 * 11 : NG 168 = 14 * 12 : ○−1＝168，○＝169，○＋1＝170，(2) 182 = 14 * 13 : ○−1＝180，○＝181，○＋1＝182，(1) 182 = 112 + 70 以下同様です。そこで，上記の状況が70を周期にして繰り返すことが分かります。 そして，この一周期の間に，(1)，(2)，(3)，(4)が一回ずつ，出現します。 112 + 70 * 0, 112 + 70 * 1, 112 + 70 * 2, ..., 112 + 70 * 12 = 952, 112 + 70 * 13 = 1022 なので，999 までで12周期があって13周期目の途中になります。そこで逆にたどって， 1022 = 1022 - 14 * 0 : (1) <----- 14周期目の最初 1008 = 1022 - 14 * 1 : (2) <----- 13周期目の終わり 0994 = 1022 - 14 * 2 : NG 0980 = 1022 - 14 * 3 : (3) ＆ (4) 0966 = 1022 - 14 * 4 : NG 0952 = 1022 - 14 * 5 : (1) <----- 13周期目の最初 ．．． なので，13周期目は最後の(2)だけが抜けます。 そこで，条件を満たす数の個数は 4 * 13 - 1 = 52 - 1 = 51 個になります。 |
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ネコの住む家
4月26日（木） 11:58:20
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