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uchinyan |
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#29750他
スモークマンさんの問題，面白く読みました。 後知恵ですが．．． ＞直線状に並べたら発散するのに、それを分割して並べていくと収束することがたしかに言えるなんて、、、無限って不思議です。v えと，今問題になっているのは辺の長さではなく面積なので， S = (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + ... の方でしょう。これは，ζ関数を使って， S = (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + ... = ζ(2) - 1 = π^2/6 - 1 < 3.15^2/6 - 1 = 0.65375 < 1 と評価できるので，うまく配置すればできそうだな，という感じはつかめます。そして実際， (1/2)^2 + (1/3)^2 = 1/4 + 1/9 < 1/4 * 2 = 1/2 (1/4)^2 + (1/5)^2 + (1/6)^2 + (1/7)^2 = 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49 < 1/16 * 4 = 1/4 (1/8)^2 + (1/9)^2 + (1/10)^2 + (1/11)^2 + (1/12)^2 + (1/13)^2 + (1/14)^2 + (1/15)^2 = 1/64 + 1/81 + 1/100 + 1/121 + 1/144 + 1/169 + 1/196 + 1/225 < 1/64 * 8 = 1/8 ．．． より， S = (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + (1/5)^2 + (1/6)^2 + (1/7)^2 + (1/8)^2 + (1/9)^2 + (1/10)^2 + (1/11)^2 + (1/12)^2 + (1/13)^2 + (1/14)^2 + (1/15)^2 < 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 なので，この評価式の状況を図形的に表現すればいいようですね。 他にも解はありそうで，四つの正方形に分割し，左から右へ斜め，左下，右上の順に取っていくことを繰り返す， シェルピンスキー・ガスケットのようなフラクタル的？，な取り方も可能そうです。 |
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ネコの住む家
4月25日（水） 11:15:58
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