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doba |
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#29750
図を書かずにうまく伝わるかどうかわかりませんが、 こんな感じでしょうか。 パソコンでは分かりにくいので、以下R2,R3…をR(2),R(3)…と書きます。 長辺が2/(2^n)、短辺が1/(2^n)の長方形をT(n) １辺が1/(2^n)の正方形（すなわちR(2^n)）をS(n)とすると、 １辺が１の正方形は、２つのT(1)に分けられ、 T(1)は２つのS(1)に分けられ、 S(1)は２つのT(2)に分けられ、 … T(n)は２つのS(n)に分けられ、 S(n)は２つのT(n+1)に分けられ、 … というようにして、 １辺が１の正方形を、 １個ずつのT(1),S(1),T(2),S(2),…,T(n),S(n),… に無限分割することができます。 さらに、 T(n)は、R(2^(2n-1))を2^(2n-1)個に分割でき、 S(n)は、R(2^(2n))を2^(2n)個に分割できます。 以上より、１辺が１の正方形は、 T(1)の領域を、R(2)×２個に、 S(1)の領域を、R(4)×４個に、 T(2)の領域を、R(8)×８個に、 S(2)の領域を、R(16)×16個に、 … T(n)の領域を、R(2^(2n-1))×2^(2n-1)個に、 S(n)の領域を、R(2^(2n))×2^(2n)個に、 … というように分割できることになります。 そこで、 ２個のR(2)のそれぞれの中に収まるように、R(2)〜R(3)を、 ４個のR(4)のそれぞれの中に収まるように、R(4)〜R(7)を、 ８個のR(8)のそれぞれの中に収まるように、R(8)〜R(16)を、 … 2^m個のR(2^m)のそれぞれの中に収まるように、R(2^m)〜R(2^(m+1)-1)を、 … というように順次配置すれば、 R(2),R(3),…という無限個の正方形を、 重ならないように並べることができます。 |
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4月23日（月） 23:25:09
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