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doba |
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命題１については#26579の追加の所にあるようなので、命題２の方を。
自然数k,mと奇素数pが 1+p+p^2+・・・+p^(2k+1)=2^(m+1)を満たすと仮定すると、 両辺にp-1をかけて p^(2k+2)-1=(p-1)・2^(m+1) i) kが偶数のとき k=2n（nは自然数）とおく。 p^(2k+2)-1=p^(4n+2)-1 =(p^2-1)((p^2)^2n+(p^2)^(2n-1)+…+(p^2)+1) =(p-1)(p+1)((p^2)^2n+(p^2)^(2n-1)+…+(p^2)+1) なので、 (p+1)((p^2)^2n+(p^2)^(2n-1)+…+(p^2)+1)=2^(m+1) となる。 (p^2)^2n+(p^2)^(2n-1)+…+(p^2)+1は奇数が奇数個なので、 １でない奇数であり、奇素数を因数に持つので、矛盾。 ii) kが奇数のとき k=2n-1（nは自然数）とおく。 p^(2k+2)-1=p^(4n)-1 =(p^(2n)+1)(p^(2n)-1) =(p^(2n)+1)(p-1)(p^(2n-1)+p^(2n-2)+…+p+1) なので、 (p^(2n)+1)(p^(2n-1)+p^(2n-2)+…+p+1)=2^(m+1) となる。 ここで、p^2≡1 (mod 4)より、p^(2n)+1≡2 (mod 4)となり、 (p^(2n)+1)/2は１でない奇数であり、奇素数を因数に持つので、矛盾。 仮定から矛盾が導かれたので、仮定のようなことは起り得ない。 （証明完） ちなみに、命題１の方ですが、 ＞2^(m+1) = p^(2k+1) + 1 = (p + 1) * (p^(2k) - p^(2k-1) + p^(2k-2) - ... + p^2 - p + 1) において、(p^(2k) - p^(2k-1) + p^(2k-2) - ... + p^2 - p + 1)が奇数であり１でないことから、即座に矛盾が導けます。 #29582 スモークマンさん なるほど、完全数ですか。 |
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3月17日（土） 17:38:09
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