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uchinyan |
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#29578，#29577 何をしたいかがいまいちピンと来ませんが．．．
＞k,m を正の整数、pを奇素数とする時、 ＞1+2+2^2+・・・+2^m=p^(2k+1) か、 .....(1) ＞1+p+p^2+・・・+p^(2k+1)=2^(m+1) は、......(2) ＞成立するか？ ＆ ＞「(1),(2) を同時に満たすものが一つでもあるか？」 ならば，ただ計算して， 1 + 2 + 2^2 + ・・・ + 2^m = (2^(m+1) - 1)/(2 - 1) = 2^(m+1) - 1 = p^(2k+1) 1 + p + p^2 + ・・・ + p^(2k+1) = (p^(2k+2) - 1)/(p - 1) = 2^(m+1) 最初の式を二番目の式に代入して， (2^(m+1) - 1) * p - 1 = 2^(m+1) * (p - 1) p = 2^(m+1) - 1 最初の式と合わせて p = p^(2k+1) したがって，k = 0 が必要ですが，k > 0 なので，明らかにダメですね。 ＞「(1)あるいは(2) を満たすようなものが一つでもあるか？」 ＞は別問題になるのかな・・・？ もちろん別問題です。ただ．．． ＞こちらも証明できればうれしいのですが。^^ ダンディ海野さんがご指摘のように，まずは，題意を明確にした方がよさそうです。 ちょっと追加 そもそも， 1 + 2 + 2^2 + ・・・ + 2^m = (2^(m+1) - 1)/(2 - 1) = 2^(m+1) - 1 = p^(2k+1) を満たす k, m, p は，k > 0 ならば，なさそうです。k > 0 ならば， 2^(m+1) = p^(2k+1) + 1 = (p + 1) * (p^(2k) - p^(2k-1) + p^(2k-2) - ... + p^2 - p + 1) なので，p >= 3 より， p + 1 = 2^n, 2 <= n < m+1 p = 2^n - 1 そこで， 2^(m+1) - 1 = p^(2k+1) = (2^n - 1)^(2k+1) = (2^n)^(2k+1) - (2k+1)C1 * (2^n)^(2k) + ... - (2k+1)C(2k-1) * (2^n)^2 + (2k+1)C(2k) * 2^n - 1 2^(m+1) = (2^n)^(2k+1) - (2k+1)C1 * (2^n)^(2k) + ... - (2k+1)C(2k-1) * (2^n)^2 + (2k+1) * 2^n 2^(m+1-n) = (2^n)^(2k) - (2k+1)C1 * (2^n)^(2k-1) + ... - (2k+1)C(2k-1) * 2^n + (2k+1) しかし，左辺は偶数，右辺は奇数なので，これはありえません。 つまり，k > 0 では，k, m, p は存在しません。 存在するとしたら， 1 + p + p^2 + ・・・ + p^(2k+1) = (p^(2k+2) - 1)/(p - 1) = 2^(m+1) の方ですね。 なお，k = 0 ならば，明らかに，m = 1, p = 3 として， 1 + 2 = 3 が存在します。またこのとき， 1 + 3 = 4 = 2^2 でもあります。 |
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ネコの住む家
3月17日（土） 13:51:33
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