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doba |
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#29540
スモークマンさん こういうのはダメですか。 方程式x^2+x+1=3yは整数解(x,y)=(1,1)を持つので， 方程式x^2+x+1=pyが整数解を持つような素数pは少なくとも１個存在する。 方程式x^2+x+1=pyが整数解を持つような素数pが少なくともn個存在すると仮定すると，任意のp∈S_nについて方程式x^2+x+1=pyが整数解を持つようなn個の素数の集合Sが存在する。 このとき，Sに含まれる全ての素数の積をXとすると，XとX^2+X+1は明らかに互いに素なので，X^2+X+1を素因数分解して現れる素数は，いずれもXの約数ではない，すなわち，Sには含まれない。 そのような素数のうちの１つをPとすると，PはX^2+X+1の約数なので，X^2+X+1=PYとなるような整数Yが存在する。したがって，方程式x^2+x+1=Pyは整数解(x,y)=(X,Y)を持つ。 PはSに含まれないので，方程式x^2+x+1=pyが整数解を持つような素数pが少なくともn+1個存在することが言える。 よって，数学的帰納法により，方程式x^2+x+1=pyが整数解を持つような素数pは任意の自然数個存在する。すなわち，無限に存在する。 |
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3月14日（水） 16:46:16
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