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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
算数っぽく，コツコツと地道に，試行錯誤＋規則性チェック，という感じでやりました。 まず，小数部分の切り捨てを [ ] (ガウスの記号)で囲って示すことにすると，数 X に対して， A = [2X]，B = [4X]，C = [6X]，D = [8X]，E = A + B + C + D と書けます。このとき，X + 1/2 を考えると， A = [2X] + 1，B = [4X] + 2，C = [6X] + 3，D = [8X] + 4，E = A + B + C + D = (X の場合) + 10 となります。つまり，フジヤマ君の言う数 E は 10 増えます。 しかもこれは，X が 1/2 = 0.5 増えるごとに常に同じパターンで繰り返すので， 結果として，E は 10 を区切りに同じパターンを繰り返すことが分かります。 この繰返しを考慮すると，E は 0 〜 1000 で考えるので，0 〜 10 までを調べ，それを 1000/10 = 100 倍してやればいいことが分かります。 そこで，0 〜 10 の出現状況を調べます。なお，出現は一例です。 (X の値を各 E の値の境界になるように変更しました。) 0 : X = 0, A = [0] = 0，B = [0] = 0，C = [0] = 0，D = [0] = 0，E = 0 で出現 1 : X = 1/8 = 0.125, A = [2/8] = 0，B = [4/8] = 0，C = [6/8] = 0，D = [1] = 1，E = 1 で出現 2 : X = 1/6, A = [2/6] = 0，B = [4/6] = 0，C = [1] = 1，D = [8/6] = 1，E = 2 で出現 4 : X = 1/4 = 0.25, A = [2/4] = 0，B = [1] = 1，C = [6/4] = 1，D = [2] = 2，E = 4 で出現 5 : X = 1/3, A = [2/3] = 0，B = [4/3] = 1，C = [2] = 2，D = [8/3] = 2，E = 5 で出現 6 : X = 3/8 = 0.375, A = [6/8] = 0，B = [12/8] = 1，C = [18/8] = 2，D = [3] = 3，E = 6 で出現 10 : X = 1/2 = 0.5, A = [1] = 1，B = [2] = 2，C = [3] = 3，D = [4] = 4，E = 10 で出現 しかし，これ以外は， X = 0.2499… < 0.25, A = [0.4999…] = 0，B = [0.9999…] = 0，C = [1.4999…] = 1，D = [1.9999…] = 1，E = 2 で 3 は出現不可 X = 0.4999… < 0.5, A = [0.9999…] = 0，B = [1.9999…] = 1，C = [2.9999…] = 2，D = [3.9999…] = 3，E = 6 で 7, 8, 9 は出現不可 となります。ただし，「…」は無限個続くのではなくて，どこか有限個で終わることを表すとします。 無限個続いた場合には，0.25 や 0.5 に相当するので，それらの場合は，E = 4 や E = 10 となります。 いずれにせよ，跳びが生じ，0 〜 10 では，3, 7, 8, 9 の 4 個が出現できません。 そこで，0 〜 1000 では，4 * 100 = 400 個出現しない数があることになります。 なお，同様のことを，切り捨てではなく，四捨五入，切り上げで考えると，計算が正しければ (^^; 四捨五入：100個出現しない (5, 15, 25, 35, ... が抜ける) 切り上げ：すべて出現する となるようです。 |
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ネコの住む家
2月16日（金） 11:22:23
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