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uchinyan |
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#29364
＞問題 ＞(m,n)=1でm,nは正整数として次を証明せよ。 ＞(m+n-1)!/(m!n!) は整数である。 m = 1 のときは，明らか。 それ以外の場合は， (m+n)Cm = (m+n)!/m!n! = (m+n) * 1/m * (m+n-1)!/(m-1)!n! = (m+n) * 1/m * (m+n-1)C(m-1) ここで，(m+n)Cm，(m+n)，(m+n-1)C(m-1) は整数。 そこで，分母の m は，(m+n) 又は (m+n-1)C(m-1) を割り切らないといけませんが， m，n の最大公約数が 1 なので，m が (m+n) を割り切ることはありえません。 そこで，m は (m+n-1)C(m-1) を割り切らないといけないので， 1/m * (m+n-1)C(m-1) = 1/m * (m+n-1)!/(m-1)!n! = (m+n-1)!/m!n! は整数。 |
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ネコの住む家
2月14日（水） 22:21:08
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