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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
正解者一覧からも分かるように，やはり易しいようですね。 確かに，倍数のチェックの仕方はよく知られているので，知っていれば簡単でしょう。 知らなくとも，最悪，9 * 10 = 90 通りしか可能性がないので，チェックするのは不可能ではないでしょう。 さて，私の解法です。多分，皆さんと同じだとは思いますが．．． (解法1) 99 = 9 * 11 なので，9 の倍数かつ 11 の倍数と考えます。 9 の倍数は， 1 = 1，10 = 9 + 1，100 = 90 + 10 = 99 + 1，1000 = 990 + 10 = 999 + 1，10000 = 9990 + 10 = 9999 + 1，．．． なので，各桁の数字の和が 9 の倍数であることが必要十分条件です。そこで， ア + 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 + イ = ア + イ + 27 = 9 の倍数 ア + イ = 9 の倍数 11 の倍数は， 1 = 1，10 = 11 - 1，100 = 11 * 9 + 1，1000 = 11 * 90 + 10 = 11 * 91 - 1，10000 = 11 * 910 - 10 = 11 * 909 + 1，．．． なので，各桁の数字を１の位から交互に，足す，引くを繰り返したものが 11 の倍数であることが必要十分条件です。そこで， イ - 7 + 5 - 8 + 2 - 4 + 1 - ア = イ - ア - 11 = 11 の倍数 イ - ア = 11 の倍数 ここで，ア，イは８桁の数の８の位の数字と１の位の数字なので， ア = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 イ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 そこで，イ - ア = 11 の倍数 がいえるには，ア = イ しかありえません。 これより，2 * ア = 9 の倍数 となるので，ア = イ = 9 が解になります。 (解法2) (解法1)の途中で気付いたのですが， 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27，7 - 5 + 8 - 2 + 4 - 1 = 11 なので，実は，142857 は 99 の倍数ですね。 となれば，10^7 = 10000000 = 9999990 + 10 = 99 * 101010 + 10 なので， ア142857イ = 10000000 * ア + 1428570 + イ = (99 の倍数) + 10 * ア + イ = (99 の倍数) + アイ = 99 の倍数 アイ = 99 の倍数 ア，イの取り得る範囲からすると，アイ = 99 しかありえません。 そこで，ア = イ = 9 が解になります。 (解法3) ここまでくると，「そうか，最初から直接に 99 の倍数で考えればいいんだ」と気付きました。(気付くの遅過ぎ！) 99 の倍数は， 1 = 1，10 = 10，100 = 99 + 1，1000 = 99 * 10 + 10，10000 = 99 * 100 + 100 = 99 * 101 + 1，100000 = 99 * 1010 + 10，．．． なので，１の位から２桁ずつ区切って足したものが 99 の倍数であることが必要十分条件です。そこで， 7イ + 85 + 42 + ア1 = 70 + イ + 85 + 42 + ア0 + 1 = アイ + 198 = アイ + 99 * 2 = 99 の倍数 アイ = 99 の倍数 ア，イの取り得る範囲からすると，アイ = 99 しかありえません。 そこで，ア = イ = 9 が解になります。 なお，「142857 はどこかで見た数だよなぁ」と思ったのですが，1/7 を小数にした際の循環部分に現れる数字の並びですね。 1/7 = 0. 142857 142857 142857 … = 142857 * 0. 000001 000001 000001 … = 142857 * 1/999999 7 * 142857 = 999999 = 99 * 10101 7 と 99 は互いに素なので，これからも 142857 は 99 の倍数と分かります。 もっとも，これを使うのは，解法としては少し無理がありそうだな，とは思いますが (^^; |
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ネコの住む家
2月8日（木） 11:13:42
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