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スモークマン |
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奇数の完全数があるのかないのか未解決らしい。
その証明？ 何となくいい感じになったので、、、粗筋をば・・・（またかい(^^;） #29140 のアルゴリズムで考えると、 分母が2の時の分子は奇数、その分子の素因数は必ず奇素数なので、奇素数が分母の分子は、偶数・奇数の繰り返し。 3/2*4/3=2 7/4*8/7=2 で、(2^m-1)/2^(m-1)*2^m/(2^m-1)=2 から、2^m-1 が素数の時なら 2^(m-1)*(2^m-1) は完全数といえる。 一方、(2^m-1)/2^m の 2^m-1 が合成数の時は、いくつかの素因数（奇素数）に分解され、偶数/奇素数^奇数 か、奇数/奇素数^偶数 の掛け算が 2 にならないといけない。 偶数/奇素数^奇数を２つ以上持つと、分母に 2^m の因子が必要となり、奇数ではなくなる。 1個も持たない時は、明らかに、奇数/奇素数^偶数 の積の繰り返しでしかあり得ないが、 これでは、積は奇数なので、2にはなりえない。 だから、1個だけ偶数/奇素数^奇数 があり、あとは、奇数/奇素数^偶数だけの積の時。 しかも、偶数/奇素数^奇数 の偶数は、2が1個だけのもの。 素数は、4m+1 型と、4m-1 型なので、 4m+1 型は、 1+1+1+1=4 から、3,7,11,・・・奇素数の4k-1 乗のものは、2^2 を持つので不適。 4m-1型は、 1-1=0,1-1+1-1=0 なので、奇数乗は全て2^2 を持ち不適。 よって、4m+1 型の素数のうち、(4k+1)乗 のものだけを考えればよい。 1+(4m+1)=4m+2 のとき、4m+2=2*(2m+1) なので、2m+1 が、奇素数か、奇素数の積に分かれる場合がある。 ・2m+1 が奇素数の時、 奇数/奇素数^偶数 でなければならない。しかし、分母はその奇素数は最低2個あるが、分子には1個なので、割り切れない。 ・2m+1 が奇素数の積に分かれる時、 奇数/奇素数'^偶数*奇数/奇素数''^偶数 となり、分子、分母の奇素数の数があわないので割り切れない。 1+(4m+1)+(4m+1)^2+(4m+1)^3+(4m+1)^4+(4m+1)^5=4M+6=2(2M+3) 2M+3=2m'+1 で、上と同様のことがいえる。 一般に、4M+6+4k=4M'+6=2(2M'+3) なので、上と同様のことが言え、割り切れるものがない。 つまり、存在しない。 |
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金光
1月20日（土） 13:29:07
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