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スモークマン |
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#29133,#29139
そうか・・・案外難しい。。。(^^; 全ての数 A は、(1+2+2^2+・・・)(1+3+3^2+・・・)(1+5+5^2+・・・)・・・で表されるから、 A = 2^a*3^b*5^c*・・・ なら、 A の約数の和は、A*(1+1/2+1/2^2+・・・+1/2^a)(1+1/3+1/3^2+・・・+1/3^b)(1+1/5+1/5^2+・・・+1/5^c)・・・で表される。 A は整数なので、(1+1/2+1/2^2+・・・+1/2^a)(1+1/3+1/3^2+・・・+1/3^b)(1+1/5+1/5^2+・・・+1/5^c)・・・が、整数になればよい。 1+1/2=3/2 3/2*4/3=2 は、2*3=6 でダメ。 1+1/2+1/4=7/4 7/4*8/7=2 はＯＫ。 このとき、4*7=28 なので、28/2=14 から、11-17 がある。・・・1個。 1+1/2+1/4+1/8=15/8 は、15=3*5 なので、 つまり、15/8*4/3*6/5=(15*4*6)/(8*3*5)=3 でＯＫ。 このとき、8*3*5=120 なので、 120/2=60 から、59-61,53-67,47-73,41-79,37-83,31-89,23-97 がある。・・・7個。 1+1/2+1/4+1/8+1/16=31/16 は、16*31=496 > 99*2=198 でダメ。 次は、63/32 で、63=3^2*7 なので、 63/32*13/9*8/7 はダメ。 次は、127/64 で、64*127>198 でこれ以上はない。 1+1/3=4/3 は、4=2^2 なので、 4/3*7/4 でダメ。 1+1/3+1/9=13/9 13/9*14/13 でダメ。 1+1/3+1/9+1/27=40/27 は、40=2^3*5 なので、 40/27*15/8*6/5=(40*15*6)/(27*8*5) はダメ。 1+1/3+1/9+1/27+1/81=121/81 は、121=11^2 なので、 121/81*133/121=(121*133)/(81*121) でダメ。 これ以上では、分母が 81*3=243>198 でダメ。 1+1/5=6/5 は、6=2*3 なので、 6/5*3/2*4/3 でダメ。 1+1/5+1/25=31/25 は、25*31>198 でだめ。 次の分母は、125 なので、125*2>198 で、もうない。 1+1/7=8/7 は、8=2^3 なので、 8/7*15/8 でダメ。 1+1/7+1/49=57/49 は、57=3*19なので、 57/49*4/3*20/19=(57*4*20)/(49*3*19) でダメ。 それ以上では、49*7*2>198 でダメ。 1+1/11=12/11 は、12=2^2*3 なので、 12/11*7/4*4/3 でダメ。 1+1/11+1/121=133/121 は、2*121>198 でダメ。 1+1/13=14/13 は、14=2*7 なので、 14/13*3/2*8/7 でダメ。 1+1/13+1/169 は、2*169>198 でだめ。 1+1/17=18/17 は、18=2*3^2 なので、 18/17*3/2*12/9 でダメ。 次の、17*17=289 で、198 以上になるので満たすものはない。 17 以上の素数は、同じ理由で（19*20=380>198）、もうない。 結局、1+7=8個かな？ (^^)V おもしろい問題ですね、、、小島さんのオリジナル問なんですか？ もっとスマートに言えそうですね・・・(^^; |
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金光
1月19日（金） 9:42:47
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