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uchinyan |
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(最初の解法を、中点連結定理を使わないように修正しました。また、中点連結定理を使った別解を追加しました。
その後、若干の補足をしました。) はい、こんにちは。さて今回の問題ですが、マサルさんらしさが復活ですね (^^; この手の問題の定番ですが、AB で切り開いて展開図を考えます。B の切り開いたもう一方を B' とします。 元の四角すいの対称性と ∠BAC + ∠CAD = 90度 より、∠BAB' = 180度 です。 ひもは、展開図上では、直線 BE = 8cm になります。このとき、側面全体は、□BCDE と △BEB' に分割されます。 そしてやはり、図形の対称性から、BE//CD で、□BCDE は CB = DE の等脚台形です。 さて、A より CD に垂線を下ろしその足を H、BE との交点を M とします。△ABE は二等辺三角形なので BM = EM = 4cm、AM⊥BE です。 すると、△AMB、△CHA において。AB = CA、∠AMB = ∠CHA = 90度 で、 ∠DAM = ∠DAH = ∠CAH = 1/2 * (180 - ∠ACD - ∠ADC) = 1/2 * (180 - 2 * ∠ACD) = 90 - ∠ACD より、 ∠BAM = ∠BAD - ∠DAM = ∠BAC + ∠CAD - ∠DAM = 90 - ∠DAM = 90 - (90 - ∠ACD) = ∠ACD なので、△AMB ≡ △CHA です。そこで、AH = BM = 4cm です。 また、△AMB は、BM = 4cm、AB = 5cm、∠AMB = 90度 なので、3：4：5 の直角三角形で、AM = 3cm で、 CH = DH = AM = 3cm、CD = 6cm、MH = AH - AM = 4 - 3 = 1cm になります。 一方で、△BEB' において。 BM：BE = 1：2 = BA：BB' より BM：BA = BE：BB'、∠ABM = ∠B'BE なので、△BMA ∽ △BEB' がいえ、 AM//B'E、∠BEB' = ∠BMA = 90度、B'E = 2 * AM = 6cm です。 最後は、B'E = CD = 6cm としてもいいですね。 以上より、 求める面積 = □BCDE + △BEB' = 1/2 * (CD + BE) * MH + 1/2 * BE * B'E = 1/2 * (6 + 8) * 1 + 1/2 * 8 * 6 = 7 + 24 = 31 cm^2 になります。 (追加：別解) 中点連結定理を使った別解です。 ＞ひもは、展開図上では、直線 BE = 8cm になります。このとき、側面全体は、□BCDE と △BEB' に分割されます。 ＞そしてやはり、図形の対称性から、BE//CD で、□BCDE は CB = DE の等脚台形です。 ここまでは同じで、この後、△BEB' に注目して、B より EB' に垂線を下ろしその足を K とします。 すると、△AEB' は二等辺三角形なので、B'K = KE です。また、B'A = AB です。 そこで、中点連結定理によって、AK//BE、∠B'EB = ∠B'KA = 90度、AK = 4cm になります。 すると、△AKB' は 3：4：5 の直角三角形で、B'K = 3cm、B'E = 2 * BK = 6cm になります。 次に、A より CD に垂線を下ろしその足を H、BE との交点を M とします。△ABE は二等辺三角形なので BM = EM = 4cm、AM⊥BE です。 そこで、△AMB は、BM = 4cm、AB = 5cm、∠AMB = 90度 なので、3：4：5 の直角三角形で、AM = 3cm になります。 これらより、CD = EB' = 6cm、AH = AK = 4cm、MH = AH - AM = 4 - 3 = 1cm になります。 以上より、 求める面積 = □BCDE + △BEB' = 1/2 * (CD + BE) * MH + 1/2 * BE * B'E = 1/2 * (6 + 8) * 1 + 1/2 * 8 * 6 = 7 + 24 = 31 cm^2 になります。 (追加終) |
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ネコの住む家
12月8日（金） 8:51:57
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