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uchinyan |
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#28763
ちょっと泥臭いですが．．． (少し追加) うっかりしていましたが、以下の最後の部分は そこで、絶対素数は、1, 3, 7, 9 の 3 個以下の数字で構成されるか、一桁の 2 又は 5、になります。 の方が正しいかもしれません。 要は絶対素数の定義の解釈の問題です。以下では、一桁の場合を考えていませんでした。 したがって、以下の議論は、二桁以上の場合とお考えください。 いずれにせよ、問題の本質はこの場合なので、特に変更はありません。 (追加終わり) ある数 n が絶対素数であるためには、その各桁の数字は、1, 3, 7, 9 でなければなりません。 これは、0, 2, 4, 5, 6, 8 がある場合には、それらが下一桁に来た場合には素数にならないことから明らかです。 さて、n が 1, 3, 7, 9 を少なくとも一つずつ含んでいるとします。 これが絶対素数であるとすると、数字を並べ替えた、次のような abc…dxyzu がすべて素数であるはずです。 abc…d は、1, 3, 7, 9 を並べたもの、ただし含まない数字があってもよい、又は 存在しない とします。 13311997, 1133777, 99111, 3333 など、又はそもそも n は四桁の数でこの部分は存在しない、ということです。 xyzu は 1, 3, 7, 9 を並べたもの、つまり、1, 3, 7, 9 の順列、とします。 1, 3, 7, 9 は少なくとも一つずつあるとしたので、これは可能です。 すると、mod 7 で、 1379 ≡ 0, 1397 ≡ 4, 1739 ≡ 3, 1793 ≡ 1, 1937 ≡ 5, 1973 ≡ 6, 3179 ≡ 1, 3197 ≡ 5, 3719 ≡ 2, 3791 ≡ 4, 3917 ≡ 4, 3971 ≡ 2, 7139 ≡ 6, 7193 ≡ 4, 7319 ≡ 4, 7391 ≡ 6, 7913 ≡ 3, 7931 ≡ 0, 9137 ≡ 2, 9173 ≡ 3, 9317 ≡ 0, 9371 ≡ 5, 9713 ≡ 4, 9731 ≡ 1 つまり、xyzu は、7 で割った余りをすべて表現できます。そこで、 abc…dxyzu ≡ abc…d0000 + xyzu なので、abc…d0000 を 7 で割った余りに対して xyzu をうまく取れば、必ず、abc…dxyzu を 7 の倍数にすることができます。 これは、abc…dxyzu がすべて素数であったことに矛盾します。 そこで、絶対素数は、1, 3, 7, 9 の 3 個以下の数字で構成されることになります。 |
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ネコの住む家
11月29日（水） 7:47:01
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