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uchinyan |
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はい、こんにちは。
さて、今回の問題ですが、簡単といえば簡単なのですが、ちょっと気になることもありました。 側面上の最短距離なので、いつもどおりに、OA で切り開らき対応する点を A' として展開図を描きます。 このとき、0 < ∠AOA' < 180 ならば、側面の展開図上に線分 AA' を引けるので、これが最短距離です。 しかし、180 <= ∠AOA' < 360 の場合には、別途考察が必要です。これは後で行います。 まず、0 < ∠AOA' < 180 の場合です。 △AOA' = ヒモより上 = 1/6 * 側面全体 = △AOB なので、OA を底辺とすると △AOA'、△AOB の高さは等しくなります。 このとき、A' は B とは一致していないので、A' から下ろした垂線の足 H は AO を O の方に延長した線上にあります。 また、B より AO に下ろした垂線の足を I とします。 すると、A'H = BI、OA' = OB、∠A'HO = 90 = ∠BIO なので、△A'OH ≡ △BOI となり、∠AOB = ∠BOI = ∠A'OH で、 ∠AOA' + ∠A'OH = 180、∠AOA' = 6 * ∠AOB から、7 * ∠AOB = 180、∠AOB = 180/7 度 になります。 次に、180 <= ∠AOA' < 360 の場合です。実は、この場合は、題意を満たしません。 この場合は、最短距離を与えるルートは、側面上の A-O-A' になります。 これは、∠AOA' = 180 のときは、AOA' が直線になるので、明らか。 180 < ∠AOA' < 360 のときは、側面の各辺のヒモが通る点を B', C', D', E', F' とすると、△AOD'、△A'OD' ができます。 このとき、∠AOD' = ∠A'OD'、∠AOD' + ∠A'OD' = ∠AOA' > 180 より、∠AOD' = ∠A'OD' > 90 > ∠AD'O, ∠A'D'O なので、 AD' > AO、A'D' > A'O、AD' + A'D' > AO + OA' です。 さらに、AD'、A'D' は直線なので、AB' + B'C' + C'D' > AD'、D'E' + E'F' + F'A' > A'D' がいえ、 結局、AB'C'D'E'F'A' = AB' + B'C' + C'D' + D'E' + E'F' + F'A' > AD' + A'D' > AO + OA' = A-O-A' です。 ところが、側面上で A-O-A' より上の部分はないので面積は 0 で、題意を満たしません。 したがって、結局、答えは、180/7 度 になります。 例によって、少ししつこく書きましたが、 算数としては、180 <= ∠AOA' < 360 の場合は明らかに題意を満たさないとして、特に断らなくていいのかもしれませんね。 |
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ネコの住む家
11月9日（木） 11:24:18
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