|
uchinyan |
|
#28330
＞三角関数でうまく手計算でできるのだろうか．．． 三角関数での解法を考えてみました。例によって公式使いまくりですが、思ったよりは簡単でした。 (解法3) ∠ABC = x, ∠ACB = y とします。すると、∠BAP = x+y, ∠APC = 2x+y, ∠APB = 180-(2x+y) です。 そして、求める △ABP の面積は、 △ABP = 1/2 * BP * AP * sin(∠APB) = 1/2 * BP * AP * sin(2x+y) です。さて、 △ABP に正弦定理を使って、sin(∠ABP)/AP = sin(∠BAP)/BP、つまり、sin(x)/5 = sin(x+y)/13 △ACP に正弦定理を使って、sin(∠ACP)/AP = sin(∠APC)/AC、つまり、sin(y)/5 = sin(2x+y)/8 です。そこで、 13/5 = sin(x+y)/sin(x) 8/5 = sin(2x+y)/sin(y) 1 = 13/5 - 8/5 = sin(x+y)/sin(x) - sin(2x+y)/sin(y) 分母を払って sin(x) * sin(y) = sin(x+y) * sin(y) - sin(2x+y) * sin(x) 積を和に変形して cos(x+y) - cos(x-y) = cos(x+2y) - cos(x) - cos(3x+y) + cos(x+y) - cos(x-y) = cos(x+2y) - cos(x) - cos(3x+y) cos(3x+y) - cos(x-y) = cos(x+2y) - cos(x) 和を積に変形して six(2x) * sin(x+y) = sin(x+y) * sin(y) 0 < x+y < 180 なので sin(x+y) ≠ 0 で、 sin(2x) = sin(y) 0 < 2x, y, 2x+y < 180 なので、 2x = y になります。これより、 sin(2x+y)/sin(y) = 8/5 sin(2y)/sin(y) = 8/5 倍角の公式より 2 * sin(y) * cos(y) / sin(y) = 8/5 cos(y) = 4/5 sin(y) = 3/5 そこで、 sin(2x+y) = 3/5 * 8/5 = 24/25 これより、 △ABP = 1/2 * BP * AP * sin(2x+y) = 1/2 * 13 * 5 * 24/25 = 13 * 12/5 = 156/5 cm^2 になります。 |
|
ネコの住む家
9月28日（木） 22:13:16
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28332 |