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ゴンとも |
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紙に書かず補助線を引く算数の解法ができにくいので今回も
メモ帳からコピぺで余弦定理4回とへロンの公式1回で以下のようになりました。 先ず、題意の図形で●=a,✕=b,AB=c,PC=cとおいた ここで△ABPにおいて角a,△ABCにおいて角aで それぞれ余弦定理を使ってcos(a)を求めそれが同値なことより a1:13$ b1:5$ c1:c$ expand(((a1)^2+(c1)^2-(b1)^2)/(2*c1*a1))$ a2:c$ b2:8$ c2:13+d$ expand(((a2)^2+(c2)^2-(b2)^2)/(2*c2*a2))$ num(factor(%-%th(5)));13*d^2-c^2*d+194*d-507=0・・・・・・(1) また△ABPにおいて角a+b,△ABCにおいて角PI-2*(a+b)で それぞれ余弦定理を使ってcos(a+b), cos(PI-2*(a+b))=-cos(2*(a+b))=sin(a+b)^2-cos(a+b)^2=1-2*cos(a+b)^2を求め 前者を後者に代入して a5:c$ b5:13$ c5:5$ expand(((a5)^2+(c5)^2-(b5)^2)/(2*c5*a5))$ a6:8$ b6:d$ c6:5$ expand(((a6)^2+(c6)^2-(b6)^2)/(2*c6*a6))$ num(factor(1-2*%th(5)^2-%));5*c^2*d^2-8*c^4+2259*c^2-165888=0・・・・・・(2) これと(1)の連立方程式を解くと e1:13*d^2-c^2*d+194*d-507=0$ e2:5*c^2*d^2-8*c^4+2259*c^2-165888=0$ solve([e1,e2],[c,d]); [[C=-24*sqrt(2)/sqrt(5),D=39/5](不可),[C=24*sqrt(2)/sqrt(5),D=39/5] [C=-18,D=13](不可),[C=-8,D=-13](不可),[C=8,D=-13](不可),[C=18,D=13]](不可) ここで題意で△ABPの面積が答えなのでc=AB=24*sqrt(2)/sqrt(5)と題意の図の残りの2辺で へロンの公式を使うと a1:13$ b1:5$ c1:24*sqrt(2)/sqrt(5)$ expand((a1+b1+c1)*(b1+c1-a1)*(c1+a1-b1)*(a1+b1-c1))$ sqrt(%)/4$ float(%);31.2・・・・・・(答え) |
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豊川市
9月28日（木） 15:25:40
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