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uchinyan |
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はい、こんにちは。今回は、少し考えました。
取り敢えず、解法を二つほど。 (解法1) A より ∠PAD = ∠ACP となるように点 D を BP 上にとります。また、P から AD に平行になるように線を引き AC との交点を Q とします。 すると、∠APQ = ∠PAD = ∠ACP、∠PAQ = ∠CAP なので、△APQ ∽ △ACP となり、PQ：CP = AP：AC = 5：8 です。 また、∠PAD = ∠ACP、∠PDA = ∠QPC なので、△PAD ∽ △QCP となり、PD：DA = QP：PC = 5：8 です。 一方で、∠DAB = ∠BAP - ∠PAD = ∠BAP - ∠ACP = ∠ABP = ∠DBA なので、△DAB は二等辺三角形で、DA = DB です。 そこで、BD：PD = AD：PD = 8：5 なので、D は BP = 13cm を 8：5 に分ける点です。つまり、PD = 5cm、BD = 8cm になります。 したがって、PA = 5cm = PD で、△PAD は二等辺三角形です。また、AD = BD = 8cm です。 さて、求めるのは、△ABP の面積だったので、A より BC に垂線を下ろしその足を H とすると、△ABP = 1/2 * BP * AH です。 また、P からAD へ垂線を下ろしその足を I とします。すると、AI = DI = 4cm となり、△PIA は 3：4：5 の直角三角形で、PI = 3cm です。 そして、∠AHC = ∠PIA = 90度、∠ACH = ∠ACP = ∠PAD = ∠PAI なので、△AHC ∽ △PIA となり、 AH：PI = AC：PA = 8：5 より、AH = PI * 8/5 = 3 * 8/5 = 24/5 cm です。 そこで、△ABP = 1/2 * BP * AH = 1/2 * 13 * 24/5 = 156/5 cm^2 になります。 (解法2) △ABP を AB に関して折り返し、P の移動先を Q とします。 △ABP と △ABQ は合同なので、∠ABP = ∠ABQ、∠BAP = ∠BAQ、AP = AQ = 5cm、BP = BQ = 13cm です。 ここで、△ABC の内角の和 ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180度 から、∠ABP + ∠BAP + ∠PAC + ∠ACP = 180度 ですが、 ∠BAP = ∠ABP + ∠ACP なので、2 * ∠BAP + ∠PAC = 180度 です。 そこで、∠BAP = ∠BAQ より、∠BAQ + ∠BAP + ∠PAC = 180度 で、Q, A, C は一直線上にあり、図形QBC は △QBC になります。 このとき、QA = 5cm から、QC = QA + AC = 5 + 8 = 13cm = QB なので、△QAB は二等辺三角形です。 そこで、∠QBC = ∠QCB = ∠ACP です。∠QBC = 2 * ∠ABP なので、∠ACP = 2 * ∠ABP になります。 ここで、A より BQ に平行な線を引き BC との交点を D とします。 すると、∠DAB = ∠ABQ = ∠ABP < ∠ABP + ∠ACP = ∠BAP なので、D は BP 上にあります。 また、∠DAP = ∠BAP - ∠DAB = ∠BAP - ∠ABP = ∠ACP = 2 * ∠ABP = ∠ADP なので、△PAD は二等辺三角形で、PA = PD = 5cm です。 さらに、∠ADC = ∠QBC = ∠QCB = ∠ACB = ∠ACD なので、△ADC も二等辺三角形で、AD = AC = 8cm です。 後は、(解法1)と同じです。 3：4：5 の直角三角形がうまく隠れていますね。 |
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ネコの住む家
9月28日（木） 10:57:20
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