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uchinyan |
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(若干、追加修正しました。)
#28257, #28259, #28260 ＞問題 ＞x、yが自然数でx^2+yとy^2+xが完全平方数 ＞になることはあるか。 完全に出遅れてしまいました (^^; 結局は同じことだと思いますし、weaponさんの解法には及びませんが、私が問題を見て思った解法。 x^2 < x^2 + y なので、もし、x^2 + y が完全平方数になるならば、m を自然数として、 x^2 + y = (x + m)^2 と書けるはずです。同様にして、もし、y^2 + x が完全平方数になるならば、n を自然数として、 y^2 + x = (y + n)^2 そこで、両方とも完全平方数になるとしたら、 x^2 + y = (x + m)^2 y^2 + x = (y + n)^2 となるような自然数 x, y, m, n が存在するはずです。式を変形して、 2m * x - y = - m^2 x - 2n * y = n^2 これらから、 (1 - 4mn) * x = n^2 + 2 * m^2 * n (1 - 4mn) * y = m^2 + 2 * m * n^2 両式の右辺、x、y は正なので、1 - 4mn > 0 ですが、これを満たすような自然数 m, n は存在しません。 したがって、両方とも完全平方数になることはあり得ないことになります。 なお、ちょっと拡張した問題、a, b も自然数として、 x^2 + ay, y^2 + bx が両方とも完全平方数になることはあるか も、一応は、同様に考えられます。 x^2 + ay = (x + m)^2 y^2 + bx = (y + n)^2 から、 2m * x - a * y = - m^2 b * x - 2n * y = n^2 (ab - 4mn) * x = a * n^2 + 2 * m^2 * n (ab - 4mn) * y = b * m^2 + 2 * m * n^2 ここで、先ほどと同様に ab - 4mn > 0 ですが、ab - 4mn は整数なので、ab - 4mn >= 1 ともできます。 そこで、ab >= 4mn + 1 >= 5 が必要です。このとき、右辺が ab - 4mn を約数にもてば、x, y は決まります。 例えば、ab - 4mn = 1、つまり、ab が 4 以上であって、4 で割って 1 余る数のとき、 m, n を mn = (ab - 1)/4 となるようにとれば、 x = a * n^2 + 2 * m^2 * n y = b * m^2 + 2 * m * n^2 という解があることが分かります。 ただ、残念ながら、一般的に条件をつめるのは大変そうで、よく分かっていません (^^; (以下追加) すごくナイーブですが、ちょっと変わった証明を思いつきました。 x, y, m, n を自然数として、x^2 + y = m^2, y^2 + x = n^2 になったとします。すると、 y = m^2 - x^2 = (m + x)(m - x) そこで、p, q を自然数として、 y = pq, m + x = p, m - x = q, x = 1/2 * (p - q) ----- (1) と書けます。そこで、x >= 1 より、p >= q + 2 >= 3, y >= 3 になります。 同様にして、r, s を自然数として、y^2 + x = n^2 の方から、 x = rs, n + y = r, n - y = s, y = 1/2 * (r - s) ----- (2) y >= 3 だったので、r >= s + 6 >= 7, x >= 7 になります。 すると、 x >= 7 を (1) に再度適用して、p >= q + 14 >= 15, y >= 15 y >= 15 を (2) に再度適用して、r >= s + 30 >= 31, x >= 31 x >= 31 を (1) に再度適用して、p >= q + 62 >= 15, y >= 63 y >= 63 を (2) に再度適用して、r >= s + 126 >= 31, x >= 127 ．．． と、この操作をどこまでも続けることができます。 これは、x, y の下限が無限大に、したがって、x, y が無限大になることを意味し、x, y が存在するとしたことと矛盾します。 したがって、x^2 + y = m^2, y^2 + x = n^2 になることはあり得ないことになります。 ちなみに、x^2 + ay, y^2 + bx の拡張問題の場合には、a, b をうまくとれば x, y 自体の大きさを制御できるので、 そのようにとった a, b に対しては、このような矛盾は発生しません。 weaponさんの解法で、 y <= x のときは、x^2 < x^2 + y < (x+1)^2 でしたが、 これは、自然数 x^2 + y の正の平方根が、自然数、もちろん有理数にも、ならず、無理数になる、ことを端的に示しています。 上記のような証明を見ると、無理数に絡む無限が顔をのぞかせているような気もして、なかなか奥深い感じもしますね。 |
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ネコの住む家
9月18日（月） 14:21:00
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