|
uchinyan |
|
#28244
＞>7, 9 は互いに素、16 = 7 + 9 書き込みがなかったようなので、まず、少し拡張した話をしておきましょう。 正の整数 a, b, a > b > 0 は互いに素として、(a+b)/a, (a+b)/b について、#28240に基づいて考えてみます。 m, n を正の整数として、 m(a+b)/a = m + mb/a, n(a+b)/b = n + na/b なので、それらの整数部分は、m, n が増加するに従って、それぞれ常に 1 以上増加します。 そこで、m(a+b)/a の増加列の中に同じものはなく、n(a+b)/b の増加列の中にも同じものはありません。 次に、mb, na をそれぞれ a, b で割って商 p, q と余り s, t, 0 <= s < a, 0 <= t < b で書くと m(a+b)/a = (m+p) + s/a, n(a+b)/b = (n+q) + t/b と書けるので、整数部分が等しくなるのは m+p = n+q となり、 m(a+b)/a - s/a = n(a+b)/b - t/b mb(a+b) - sb = na(a+b) - ta ta - sb = (na - mb)(a + b) (t + s)a - s(a + b) = (na - mb)(a + b) a, b は互いに素なので、t + s が a + b を約数にもつ必要がありますが、s, t の取り得る範囲からして、s = t = 0 だけです。 そこで、 mb(a+b) = na(a+b) mb = na 再び、a, b が互いに素なので、m は a の倍数、n は b の倍数、になります。 つまり、(a+b)/a の整数部分は周期 a、(a+b)/b の整数部分は周期 b だけで、一致します。 (a+b)/a の整数部分、(a+b)/b の整数部分は、それぞれの中では一致することはなかったので、 (a+b)/a の整数部分は１周期で a 個、(a+b)/b の整数部分は１周期で b 個、合わせて a+b 個あります。 ところが、(a+b)/a の整数部分は a 倍したときにだけ、(a+b)/b の整数部分は b 倍したときにだけ a+b で一致するのですから、 都合、1 〜 a+b で、a+b-1 個の異なる整数があることになります。 さて、では、1 〜 a+b で、どの整数が抜けるかですが．．．実は、a+b-1 です。 これは、もし、1 〜 a+b で、つまり、1 <= m <= a で m(a+b)/a = (a+b-1) + s/a と書けたとすると、 m(a+b) = a(a+b-1) + s 0 <= (a-m)(a+b) = a - s <= a これは m = a しかありえませんが、 a - s > 0 なので、矛盾します。 抜けるのは一つだけなので、結局、抜けるのは a+b-1 になります。 そこで、一般に、抜けるのは、n を正整数として、(a+b)n - 1 になります。 したがって、二桁の場合の個数は、境界が微妙ですが、じっくり数えると、[ ] を通常のガウスの記号として、 [100/(a+b)] - [10/(a+b)] 個 になるようです。 さて、 ＞＞39+51=90 はたまたま・・・？ ＞．．． ＞よくみると、[100*3/16]+[100*13/16]-([10*3/16]+[10*13/16]) ＞=[100(3+13)/16]-[10(3+13)/16] なら、常に言えますね！ ＞これって言えるのでしょうか？ 結論からすると、一般には、う〜ん、微妙ですね．．． 一般に、今までの前提で a/(a+b) = 0.d1d2d3d4…, d1, d2, ... は小数部分の各位の数字とすると、 b/(a+b) = 1 - a/(a+b) = 1 - 0.d1d2d3d4… = 0.(9-d1)(9-d2)(9-d3)(9-d4)… です。ただし、有限小数の場合は、小数部分の最後が 10-di に変わる点に注意します。 そこで、 1) a/(a+b) = 0.d1d2…, b/(a+b) = 0.(9-d1)(9-d2)… の場合 [100 * a/(a+b)] = [d1d2.…] = d1d2 [100 * b/(a+b)] = [(9-d1)(9-d2).…] = (9-d1)(9-d2) [10 * a/(a+b)] = [d1.d2…] = d1 [10 * b/(a+b)] = [(9-d1).(9-d2)…] = (9-d1) [100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] - [10 * a/(a+b)] - [10 * b/(a+b)] = d1d2 + (9-d1)(9-d2) - d1 - (9-d1) 通常の書き方では、 = 10 * d1 + d2 + 10 * (9 - d1) + (9 - d2) - d1 - (9 - d1) = 99 - 9 = 90 一方で、もちろん、 [100 * (a/(a+b) + b/(a+b))] - [10 * (a/(a+b) + b/(a+b))] = 100 - 10 = 90 なので、一致します。 2) a/(a+b) = 0.d1, b/(a+b) = 0.(10-d1) の場合 [100 * a/(a+b)] = [(d1)0] = (d1)0 [100 * b/(a+b)] = [(10-d1)0] = (10-d1)0 [10 * a/(a+b)] = [d1] = d1 [10 * b/(a+b)] = [(10-d1)] = (10-d1) [100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] - [10 * a/(a+b)] - [10 * b/(a+b)] = (d1)0 + (10-d1)0 - d1 - (10-d1) 通常の書き方では、 = 10 * d1 + 0 + 10 * (10 - d1) + 0 - d1 - (10 - d1) = 100 - 10 = 90 で、やはり、一致します。 3) a/(a+b) = 0.d1d2, b/(a+b) = 0.(9-d1)(10-d2) の場合 [100 * a/(a+b)] = [d1d2] = d1d2 [100 * b/(a+b)] = [(9-d1)(10-d2)] = (9-d1)(10-d2) [10 * a/(a+b)] = [d1.d2] = d1 [10 * b/(a+b)] = [(9-d1).(10-d2)…] = (9-d1) [100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] - [10 * a/(a+b)] - [10 * b/(a+b)] = d1d2 + (9-d1)(10-d2) - d1 - (9-d1) 通常の書き方では、 = 10 * d1 + d2 + 10 * (9 - d1) + (10 - d2) - d1 - (9 - d1) = 100 - 9 = 91 で、一致しません。 したがって、ガウス記号の等式という意味では、一般には、成立しません。 ただ、この場合は、計算から分かるように、100 倍した数自体が整数になっています。 もともとの問題に立ち返ると、二桁の数に限定して考えるので、 10 < (a+b)/a * x < 100, 10 < (a+b)/b * y < 100 となる x, y の個数を求めるわけですが、3) の場合は 100 がちょうど倍数になっているので、 [100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] を使うことに問題があるようです。 具体的には、100 を除いて、[100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] - 2 としなければなりません。 こうすると、今度は 91 - 2 = 89 = 90 - 1 になります。しかし、これでいのです。 もともとの問題は、これらから、さらに [100/(a+b)] - [10/(a+b)] を引いたものを、二桁の数の総数 90 から引くことになります。 1), 2) の場合は、当然、[100/(a+b)] - [10/(a+b)] になります。 3) の場合は、a, b が互いに素であることから、a+b が 100 の約数でないといけなくなります。 そこで今度は、[100/(a+b)] に問題が生じ、正しくは、[100/(a+b)] - 1 - [10/(a+b)] としなければなりません。 しかし、この補正のおかげで、結果はやはり [100/(a+b)] - [10/(a+b)] になるようです。 これは、最初に求めた結果と一致しています。 結局、 ＞＞39+51=90 はたまたま・・・？ は、一応必然のようですが、今述べたような補正が必要な場合もあります。 #28248 ＞分子が４ｎで、分母が（２ｎ−１）と（２ｎ＋１）の場合には、 ＞１周期で１つだけ出てこないのでは？ 明らかですが、2n-1 = ga, 2n+1 = gb, a, b は互いに素、とすると、g(b-a) = 2, g = 2 はあり得ないので、g = 1 で、 2n-1, 2n+1 は互いに素、したがって、今までの議論を踏まえると、これは正しいですね。 |
|
ネコの住む家
9月15日（金） 14:24:04
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28250 |