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uchinyan |
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(少し追加修正しました。)
はい、おはようございます。さて、今回の問題は．．． うーむ、私には難しかった。 最初、題意は分かったものの、条件がピンとこなくて30分ほど試行錯誤していました。 そうして、「なるほど」と思った解法が．．． (解法1) 1番目、2番目、3番目、以下これの繰り返し、と、3 で割った余りが異なるもの、具体的には、 3 で割って 1 余るグループ：1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 の一つ 3 で割って 2 余るグループ：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 の一つ 3 で割って 0 余るグループ：3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 の一つ が入ります。 1番目、2番目、3番目、4番目、5番目、6番目、7番目、以下これの繰り返し、と、7 で割った余りが異なるもの、具体的には、 7 で割って 1 余るグループ：1, 8, 15 の一つ 7 で割って 2 余るグループ：2, 9, 16 の一つ 7 で割って 3 余るグループ：3, 10, 17 の一つ 7 で割って 4 余るグループ：4, 11, 18 の一つ 7 で割って 5 余るグループ：5, 12, 19 の一つ 7 で割って 6 余るグループ：6, 13, 20 の一つ 7 で割って 0 余るグループ：7, 14, 21 の一つ が入ります。 ここで、3 と 7 は互いに素なので、 3 で割った余りの各グループのそれぞれの数が 7 で割った余りの異なるグループに属していること、 7 で割った余りの各グループのそれぞれの数が 3 で割った余りの異なるグループに属していること、 に注意します。＜−−−−−（＊） さて、まず、1番目は 21 通り、8番目は 2 通り、15番目は残りの 1 通り、になります。 2番目は、8番目と 3 で割った余りが同じになるので、7 - 1 = 6 通り。 さらに、9番目は、1番目とも2番目とも 3 で割った余りが異なるので、3 - 2 = 1 通りで、16番目は残りの 1 通りです。 3番目は、9番目と 3 で割った余りが同じになりますが、15番目と9番目で使った数を除くので 7 - 2 = 5 通り。 10番目は、1番目と 3 で割った余りが同じになるので 1 通り、17番目は残りの 1 通り。 4番目は、1番目と 3 で割った余りが同じになりますが、1番目、16番目、10番目のものを除くので 7 - 3 = 4 通り。 11番目は、2番目と 3 で割った余りが同じになるので 1 通り、18番目は残りの 1 通り。 ．．． 以下同様にやっていくと、 (21 * 2 * 1) * (6 * 1 * 1) * (5 * 1 * 1) * (4 * 1 * 1) * (3 * 1 * 1) * (2 * 1 * 1) * (1 * 1 * 1) = 30240 通り これを見直していて、「あ、そうか！」と思ったのが．．． (解法2) 一列に並んでいるのを三つずつ区切って、横に 3 個、縦に 7 個と長方形状に並べることにします。 こうしても、元に戻せるので、一対一の対応になっています。 さて、(解法1)の状況を見直すと、縦に 3 で割った余りのグループを、横に 7 で割った余りのグループを並べれば、 （＊）の条件のために、一番左の列の七つの(行方向の)欄に 7 で割った余りのグループの中の一つを与えると、 第2列目、第3列目は、3 で割った余りのグループの与え方によって一意に決まります。 そこで、非常に単純に、 どの列に 3 で割った余りのグループを対応させるかで 3! 通り 一番左の列のどの行に 7 で割った余りのグループを対応させるかで 7! 通り で、結局、 3! * 7! = 30240 通り でいいことになります。 ごめんなさい、時間がないので分かりにくいと思いますが、取り急ぎ。 −＞ 少し時間が取れたので、一応、一部の間違いを修正し、少し補いました。 |
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ネコの住む家
8月31日（木） 18:43:24
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