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uchinyan |
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再び、こんにちは。というか、もう、こんばんは、かな (^^;
その後、仕事の合間に図をながめていたら、#28152で簡単に述べた解法よりも算数らしい解法も思いつきました。なるほど。 絶対に皆さんとかぶりますが、まとめの意味で、書いておきます。 まずは、より算数らしい解法、その後に、最初に思いついた等比級数をアレンジした解法です。 (解法1) 一番大きな直角二等辺三角形と二番目のものの、AC 上の頂点を順に D, F とし、BC 上の頂点を順に E, G とします。 また、E から AC に垂線を下ろし、その足を H とします。 すると、AB//EH で、△CAB ∽ △CHE です。そこで、EH：AB = CE：CB = 3：4 で、EH = 3/4 * AB = 3 cm です。 さらに、角度の関係と BD = DE より、△BDA ≡ △DEH になり、AD = EH = 3 cm です。 つまり、△ABD は、3：4：5 の直角三角形です。したがって、BD = 5 cm です。 ここで、角度の関係から、すべての直角二等辺三角形は相似で、 さらに、直角二等辺三角形の間のすべての三角形は直角三角形で、それら及び △ABD も相似です。 そこで、EF：AD = DF：BD = DE：BA = 5：4 で EF = 5/4 * AD = 15/4 cm、DF = 5/4 * BD = 25/4 cm になり、 すべての直角二等辺三角形同士、直角二等辺三角形の間のすべての三角形同士、の相似比は、4：3 になります。 一方で、∠DEF = 90 度 なので、□DBEF は台形ですが、△DBE：△DEF = DB：EF = 4：3 なので、△DEF = 3/7 * □DBEF です。 さらに、直角二等辺三角形とその間の隣接する直角三角形とをつないだ □DBEF と相似の台形の総和は △BCD になるので、 (ピンクの部分) - △ABD = 3/7 * △BCD = 3/7 * (△ABC - △ABD) がいえます。 <-----（＊） これから、 (ピンクの部分) = 3/7 * △ABC + 4/7 * △ABD ここで、BD//EF より △CBD ∽ △CEF なので、CD：FD = CB：EB = 4：1 になり、CD = 4 * FD = 25 cm で、CA = CD + DA = 28 cm です。 そこで、△ABC = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 4 * 28 = 56 cm^2、△ABD = 1/2 * AB * AD = 1/2 * 4 * 3 = 6 cm^2 になり、 (ピンクの部分) = 3/7 * △ABC + 4/7 * △ABD = 3/7 * 56 + 4/7 * 6 = 192/7 cm^2 になります。 （＊）の辺りは、□ABEH を考えて、 (□ABEH 内部のピンク部分) = △ABD + △DEH = 2 * △ABD = 12 cm^2 (□ABEH 内部のピンク部分)：□ABEH = (□ABEH 内部のピンク部分)：(△DAE + (□ABEH 内部のピンク部分)) = 12：(25/2 + 12) = 24：49 から、 (ピンクの部分) = 24/49 * △ABC = 24/49 * 56 = 192/7 cm^2 とする方が簡単かもしれません。 なお、（＊）の辺りは、うるさいことをいうと、極限が絡むので微妙なところですが、 今回は素直な状況を考えているし、算数だし、「明らか」、でいいのでしょうね ^^; (解法2) 記号の設定は、(解法1)と同じです。 角度の関係から、すべての直角二等辺三角形は相似で、 直角二等辺三角形の間のすべての三角形は直角三角形で、それら及び △ABD も相似です。 そこで、 BC = BE + BE * EF/BD + BE * (EF/BD)^2 + BE * (EF/BD)^3 + ... = BE + EF/BD * (BE + BE * EF/BD + BE * (EF/BD)^2 + BE * (EF/BD)^3 + ... ) = BE + EF/BD * BC <-----（＊＊） BC = 4 * BE なので、EF/BD = 3/4 になります。BD = DE なので、EF：DE = 3：4 になり、△DEF は、3：4：5 の直角三角形です。 △DEF ∽ △BAD だったので、△ABD も 3：4：5 の直角三角形です。 後は、(解法1)と同様にしてできます。 （＊＊）の辺りは、うるさいことをいうと、やはり微妙ですが、今回の問題では、図より明らか、でいいのでしょう。 微妙、といったところは、もちろん、より正確には、 無限級数の収束性などを調べること、図形的に不整合がないか調べること、になるのだろう、と思います。 前者は、高校レベルの考察で容易にできますが、後者は、実は根が深い問題になるだろうな、という気がしています。 私の手に余るでしょうし、これ以上、深入りはしないでおきます ^^; いずれにせよ、3：4：5 の直角三角形がうまく隠れていますね。 |
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ネコの住む家
8月24日（木） 23:57:30
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