|
uchinyan |
|
再び、こんにちは。#28091の詳しい解法です。
(解法0) 勘です (^^; というか．．．それなりに論理的です。 長さが 3cm しか与えられていないので、面積の単位 cm^2 を作るには、どこかで 3 * 3 を行うしか手がないです。 しかも、長さを変化させる比の情報も、今回は 1：1 しかないので、2 をかけたり割ったりぐらいしか、バリエーションはなさそうです。 それと、(解法2)などから、3 * 3 よりも小さいのは明らかなので、3 * 3 * 1/2 = 9/2 cm^2 とやったら、うまくいきました ^^; 以下は少し真面目に．．． (解法1) 点 D を中心に △BCD を回転して C が E に一致するようにし B の移動先を F とし、F と A、F と B とを結びます。 すると、DB = DF、∠BDC = ∠FDE、∠BDF = ∠CDE - ∠BDC + ∠FDE = ∠CDE = 90度、なので、△DBF は直角二等辺三角形です。 さらに、 ∠AEF = 360 - ∠AED - ∠DEF = □ABDEの内角の和 - ∠AED - ∠BCD ここで、 ∠BCD = △BCDの内角の和 - ∠CBD - ∠CDB = 180 - ∠CBD - ∠CDB = ∠ABC + ∠EDC - ∠CBD - ∠CDB = ∠ABD + ∠EDB なので、 ∠AEF = □ABDEの内角の和 - ∠AED - ∠ABD - ∠EDB = ∠EAB したがって、AB//FE です。また、AB = BC = EF なので、□ABEF は平行四辺形です。 そこで、AF//BE で、△ABE = △FBE になります。よって、 五角形ABCDE = □ABDE + △CBD = △ABE + △EBD + △DEF = △FBE + △EBD + △DEF = △DBF = 1/2 * 3 * 3 = 9/2 cm^2 なお、点 B を中心に △BCD を回転して C が A に一致するようにしても、同様のことがいえます。 (解法2) 点 D を中心に △BCD を回転して C が E に一致するようにし B の移動先を F とし、 点 B を中心に △BCD を回転して C が A に一致するようにし D の移動先を G とします。 さらに、F と G とを結びます。すると、 BD = DF = GB、∠BDC = ∠FDE、∠DBC = ∠GBA、 ∠BDF = ∠CDE - ∠BDC + ∠FDE = ∠CDE = 90度、∠DBG = ∠CBA - ∠DBC + ∠GBA = ∠CBA = 90度 なので、□BDFG は一辺が 3cm の正方形です。 (解法2)と同様に □ABEF が平行四辺形になることを導き、△ABE ≡ △EFA をいって、△BDE ≡ △FGA をいってもいいですが、 ここでは、少し違った方法でやってみます。 まず、△BDE、△FGA において。□BDFG が正方形であることに注意すると、 BD = GA、DE = AG、∠BDE = ∠CDE - ∠BDC = 90 - ∠BDC = ∠BGF - ∠BGA = ∠FGA となり、△BDE ≡ △FGA です。そこで、BE = FA です。 一方で、AB = EF なので、□ABEF は平行四辺形で、△ABE ≡ △EFA がいえます。 そこで、結局、 正方形BDFG = △BAG + △FED + △BDE + △FGA + △ABE + △EFA = 2 * (△BAG + △BDE + △ABE) = 2 * (△BCD + △BDE + △ABE) = 2 * 五角形ABCDE つまり、 五角形ABCDE = 1/2 * 正方形BDFG = 1/2 * 3 * 3 = 9/2 cm^2 になります。 (解法1)及び(解法2)をよく見ると、BE//CD も ∠AEB = 45度 も、条件として使っていません。 これらは、条件としてなくてもよさそうです。 もちろん、あっても問題ありません。 次の解法は、それらの条件を積極的に使う解法です。 (解法3) E と C とを結び、CE と BD との交点を P とします。 △CDP、△CBP を(解法2)と同じように D、B に関して回転させて、それぞれの P の移動先を F、G とします。 このとき、五角形ABCDE の面積は、図形GAEFDBG の面積に等しくなります。 ∠BDF = ∠DBG = 90度 となるのは(解法2)と同じです。そこで、DF//BG です。 さらに、与えられた条件から、∠DCP = ∠DCE = ∠DEC = 45度、∠BEC = ∠DCE = 45度、なので、 ∠AEF = ∠AED + ∠DEF = ∠AEB + ∠BEC + ∠ECD + ∠DCP = 45 + 45 + 45 + 45 = 180度 となり、A, E, F は一直線上に並びます。 一方で、□ABCE を考えると、∠ABC = 90度、∠AEC = ∠AEB + ∠BEC = 45 + 45 = 90度 なので、∠BAE + ∠BCE = 180度 です。そこで、 ∠EAG = ∠EAB + ∠BAG = ∠BAE + ∠BCP = ∠BAE + ∠BCE = 180度 となり、G, A, E も一直線上にあります。 つまり、G, A, E, F は一直線上にあり、図形GAEFDBG は □GFDB になり、しかも DF//BG だったので、□GFDB は台形です。 そこで、 五角形ABCDE = 台形GFDB = 1/2 * (DF + BG) * BD = 1/2 * (DP + BP) * BD = 1/2 * BD * BD = 1/2 * 3 * 3 = 9/2 cm^2 となります。 この解法が、BE//CD や ∠AEB = 45度 を使わずにできるかどうかは、よく分かりません。 (解法4) この問題の図形には、どうやら自由度が残っているようです。 例えば、(解法3)の途中より ∠AEC = 90度 ∠BAE + ∠BCE = 180度 ですが、∠BAE、∠BCE はかなり自由に取れるようです。 (要するに、□ABCE が円に内接すればいい。) そこで、□ABCE を正方形になるようにしてみます。 すると、詳細は省略しますが、例えば、三平方の定理を使えば、AB = a として、 (a + a/2)^2 + (a/2)^2 = 3^2 a^2 = 18/5 五角形ABCDE = □ABCE + △CDE = 5/4 * a^2 = 5/4 * 18/5 = 9/2 cm^2 とできます。図形がきれいなので、算数でもできそうな気がします。 |
|
ネコの住む家
8月17日（木） 13:01:06
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28092 |