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uchinyan |
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#28037
＞問題 ＞nは自然数で、それを十進法で表し、各桁の数字の和をとると ＞1000であり、n^2の各桁の数字の和をとると1000^2になる ＞という。そのようなnは存在するか否か決定せよ。 今日は結構仕事が忙しいので、すごく直感的な話で恐縮ですが、こうした状況はなさそうな気がします。 全く証明にはなってはいないのですが．．． n が k 桁の数とします。つまり、0 < n < 10^k ですね。 すると、0 < n^2 < 10^(2k) だから、n^2 は 2k 桁以下の数です。 一般に x の10進数表記での各桁の和を s(x) で書くことにすると、すべての桁の数字が 9 のとき s(x) は最大なので、 0 < s(n) <= 9k, 0 < s(n^2) <= 9 * 2k = 18k となります。 s(n) = 1000 なので、k >= 1000/9 > 111 で k >= 112 です。 s(n^2) = 1000^2 = 1000000 なので、k >= 500000/9 > 55555 で k >= 55556 です。 そこで、k >= 55556 で、つまり、n は 55556 桁以上の数です。 このとき、s(n) = 1000 なので、n の各桁の数字の平均は、1000/k <= 1000 * 9/500000 = 9/500 となり、ほぼ 0 です。 もちろん、すべて 0 はありえないのですが、0 が非常に多いのは間違いありません。 なにせ、1000 桁を無作為に取り出したときに、1 以上の数字が 18 個以下なのですから。 そうした数を二乗しても、やはりほとんどの桁が 0 になりそうで、 それを足した s(n^2) が 1000^2 つまり、s(n) の 1000 倍になる、というのは、ちょっと変な気がします。 多分、こうした直感をうまく説明できればいいように思うのですが．．． よく分からない．．． |
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ネコの住む家
8月9日（水） 7:54:42
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