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uchinyan |
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#27968 少し修正。
スモークマンさん流のアプローチでの証明は、大筋同じです。 直感的には明らかなんだけど、ちょっと説明しにくいんですよね。 #27954の問題の拡張 9 * 99 * 9999 * 99999999 * 9999999999999999 * ... * 99…(2^n 個)…99 = (10 - 1) * (10^2 - 1) * (10^4 - 1) * ... * (10^(2^n) - 1) = (10^3 - 10^2 - 10^1 + 10^0) * (10^4 - 1) * ... * (10^(2^n) - 1) = (10^7 - 10^6 - 10^5 + 10^4 - 10^3 + 10^2 + 10^1 - 10^0) * ... * (10^(2^n) - 1) = 10^(2^(n+1) - 1) - 10^(2^(n+1) - 2) - 10^(2^(n+1) - 3) + 10^(2^(n+1) - 4) - 10^(2^(n+1) - 5) + 10^(2^(n+1) - 6) + 10^(2^(n+1) - 7) - 10^(2^(n+1) - 8) + ... + (-1)^(n-1) * 10^3 + (-1)^n * 10^2 + (-1)^n * 10^1 + (-1)^(n+1) * 10^0 そこで、掛け算の値は、桁にマイナスを許すという架空の表記法での見た目は、2^(n+1) 桁の各桁が +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, ..., (-1)^(n-1), (-1)^n, (-1)^n, (-1)^(n+1) となる数、とみなすことができます。 これは、二つずつの +1, -1 が組になって、これに適当に -1 がかかったものが繰り返しています。 繰り返しは、2^(n+1) * 1/2 = 2^n 回になります。 しかし、桁の数字が -1 というのはナンセンスなので、実際には、10 - 1 = 9 の意味になります。 さらに、実際の計算では、10 - 1 = 9 を行う際に、一つ上の桁から 1 を借りてくることになり、 -1 の桁よりも一つ上の桁の数字が -1 されます。 (したがって、実際には、2^(n+1) - 1 桁の数になりますが、これは、今の議論では、それ程重要ではありません。) さて、求めたいのは、掛け算の値ではなく、その値の各桁の数字を加えた値です。 そこで、次のようなトリックが使えます。つまり、加える数は、 ・桁の数字が +1 の時は、+1 となります。 ・桁の数字が -1 の時は、10 - 1 = 9 となりますが、一つ上の桁の数字を -1 する必要があるので、それを補うために 9 - 1 とします。 すべての桁の和を求めると、9 - 1 の -1 は、ちょうど一つ上の桁の数字から 1 を引くことに対応しています。 これらのことを考え合わせると、求める値は、 ・+1, -1 の組では、(+1) + (9 - 1) = 9 になります。 ・-1, +1 の組では、(9 - 1) + (+1) = 9 になります。 実際の計算では、-1, +1 の組の先頭の 9 - 1 の -1 は、その前の組の最後と打ち消すのですが、 この分け方では、後ろの +1 と打ち消し、計算が楽になるのがミソです。 求めるものが各桁の数字の和なので、このようなトリックが使えます。 そこで、結局、求める値は、組の繰り返しが 2^n 回だったので、9 * 2^n になります。 |
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ネコの住む家
7月29日（土） 9:15:01
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