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uchinyan |
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#27905, #27906
ごめんなさい。よく分からない．．．少なくとも、もう少し細かい証明が必要だと思います。 ＞隣同士が結ばれてない場合（凹）、それを結べば、そこにできる三角形の面積分だけは増える。 ＞つまり、隣接する点同士を結んでできる凸Ｎ角形が面積最大。 ここまでは、言いたいことは分かるし、その意味では正しいと思いますが、 隣接する点同士を結ばない場合は、その結ばれなかった点を、結ばれた線に関して反対側にある点と結ばざる得なくなるので、 辺が交差してしまいます。こういうのは、通常は、Ｎ角形とは言わないのではないかな、とも思います。 つまり、考えなくてもいいのではないかな、という気もします。 ＞そのとき、Ｎが奇数の場合、各頂点に対応する対辺とでできる三角形の面積は、 まず、一般のＮ角形についての「対辺」の定義を明確にしておいた方がいいでしょう。まぁ、これはいいとして．．． ＞明らかにその三角形の頂点から対辺への垂線が円の中心を通るときが最大。 個人的には、あまり明らかではないです。 まず、その三角形の高さに対する底辺の長さは、いろいろと変えられますよね？ それはどう考えるのでしょうか。 多分、底辺の長さを一定とすればその範囲で最大、ということでしょうか。 で、その場合に、おっしゃるときが最大になりそうのは、図を描いた感じではよさそうですが、「明らか」と言い切れるのかな、と心配。 ＞これはすべての頂点で言えるので、正Ｎ角形になる。 そしてここですが、この頂点と対辺を結んだ三角形の面積が最大になれば、Ｎ角形の面積が最大になるのは「明らか」でしょうか？ 少なくとも証明が要るのでは？ ＞Ｎが偶数の場合、同じく、頂点とその対辺を結んでできる三角形の面積は、 ＞その頂点から対辺への垂線が円の直径の時であるが、同じ対辺に対応する頂点は2個ある。 よく分からない。円の直径に垂直な線は、円の接線ですよね？ おっしゃるような三角形ってできるのでしょうか？ ＞その2点が、1点からわずかに離れていればよい（離れないほど面積は大きい）が、逆にその2点でできる辺に対応する2点は最初の辺なので、 ＞その辺の距離だけ離れた2点の場合が最大のはず。 ここらは、その前が分からないので、分からないです．．． ＞これはどの辺においても言えるので、どのペアになる対辺同士も等しい場合となり、やはり正Ｎ角形。 ここも、その前が分からないので、分からないです。 微分云々での証明は、Ｎ角形の各辺に対する中心角を考えて、それのsinの和で面積を表し、 中心角の和が360度という条件の下でやれば、一応できます。 厳密には偏微分という大学レベルの話になりますが、 微分する際に、一つの変数以外を定数と思って微分、というテクニックを使えば、一応、高校レベルでもできた、と思いました。 ただ、確認していないし、あまりキレイではないな、という感じだった気がします。 (少し追加) うっかりしていました。sin の凸性を示す不等式を利用するのが簡単です。 ただ、その不等式の証明自体には、微分などを使うことになると思いますが。 (追加終わり) その意味で、図形的にできればうれしいですね。 |
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ネコの住む家
7月21日（金） 21:05:01
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