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uchinyan |
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一応、私が考えた解法を幾つか書き込んでおきます。間違いなく、どなたかとかぶると思いますが．．．^^;
まずは、#27722で簡単に述べた解法です。恐らく、私がここに書くうちで一番算数らしい解法だと思います。 その分、少し気付きにくいかな。 (解法1) A と M、D と P を結び、AM と DP の交点を E、DP と BC の交点を F とします。 AB//CD より、△PAB ∽ △PCM で、PA：PC = PB：PM = AB：CM = 2：1 になります。 そこで、PM = 1/2 * PB = 1/2 * 26 = 13 cm、BM = BP + PM = 26 + 13 = 39 cm です。 さらに、AD//BC より、△PAD ∽ △PCF で、PD：PF = AD：CF = PA：PC = 2：1 になります。 そこで、BC：CF = AD：CF = 2：1 なので F は BC の中点です。また、PD = 2/3 * DF です。 したがって、図形の対称性や角度の関係を使うと、明らかに、△BMC、△AMD、△DFC はすべて合同になります。 そこで、DF = AM = BM = 39 cm になります。 一方、∠AED = 180 - ∠MAD - ∠ADE = 180 - ∠FDC - ∠ADE = 180 - ∠ADC = 180 - 90 = 90 度 です。 そこで、PD = 2/3 * DF = 2/3 * 39 = 26 cm に注意すると、 □APMD = △APM + △ADM = 1/2 * AM * (PE + DE) = 1/2 * AM * PD = 1/2 * 39 * 26 = 507 cm^2 になります。 次の二つの解法は、一応算数ですが、どちらも、少し修正すれば三平方の定理の証明に使えるので、 その意味では、三平方の定理を使うことと等価です。 しかし、その分、パターン的なので、知っていれば、気付きやすいかもしれません。 実は私は、(解法3)、(解法2)、(解法1)の順に気付きました (^^; (解法2) C から BM に垂線を下ろしその足を H とします。 明らかに、△BCM、△BHC、△CHM は相似です。BH：HC = CH：HM = BC：CM = CD：CM = 2：1 に注意すると、 BH：HC：HM = 4：2：1 になり、CH = 2/5 * BM です。 一方で、(解法1)の最初の辺りと同様にして、BP：PM = 2：1、PM = 1/2 * PB = 1/2 * 26 = 13 cm、BM = BP + PM = 39 cm です。 そこで、CH = 2 * 39/5 cm で、△BCM = 1/2 * BM * CH = 1/2 * 39 * 2 * 39/5 = 1/5 * 39 * 39 cm^2 です。 さてここで、□APDM と △BCM の面積を比較してみます。例えば、仮に AB = 6 とすれば、辺の比の関係から、 □APMD：△PAB：△PBC：△PCM = 15：12：6：3 = 5：4：2：1 となり、△BCM = △PBC + △PCM = 9、□APMD：△BCM = 5：3 です。 そこで、□APDM = 5/3 * △BCM = 5/3 * 1/5 * 39 * 39 = 13 * 39 = 507 cm^2 になります。 なお、直角三角形の相似を使う辺りが、実は、三平方の定理の使用と等価になっています。 (解法3) まず最初に、□APMD、△PAB、△PBC、△PCM の面積比を求めておきましょう。 これは、仮に AB = 6 とすれば、辺の比の関係から、□APMD：△PAB：△PBC：△PCM = 15：12：6：3 = 5：4：2：1 となります。 次に、幾つか方法はあるのですが、例えば、(解法2)のように直角三角形 △BCM に注目します。 まず、BC：CM = CD：CM = 2：1 です。また、(解法1)の最初の辺りと同様にして、BP：PM = 2：1 になり、 これから、PM = 1/2 * PB = 1/2 * 26 = 13 cm、BM = BP + PM = 26 + 13 = 39 cm です。 そこで、△BCM を四つ用意して、辺 BM が一辺になるように正方形 X を作ります。この面積は 39 * 39 cm^2 です。 一方で、この正方形 X は、△BCM 四つと、中央の空白、一辺が BC - CM = CM の正方形、から構成されています。 最初の、AB = 6 の仮置きで計算すると、一辺 CM の正方形 = 3 * 3 = 9 = △BCM なので、実は、X は △BCM の 5 個分になります。 したがって、△BCM = 1/5 * 39 * 39 cm^2 になり、後は、(解法2)と同じです。 この解法も、△BCM の面積を出す際の正方形の作り方が、三平方の定理の使用と等価になっています。 確かに、三平方の定理は、二次方程式やルートと深くつながっているので、算数に含めない、小学校で教えない？、のは理解できますが、 (解法2)や(解法3)のような抜け道があるので、個人的には、「理解できている」(多分、ここが重要かな。)小学生ならば、 回りくどいことをせずに使うのを許してあげてもいいのではないかなぁ、と、勝手なことを思ったりもしています (^^; |
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ネコの住む家
6月29日（木） 12:27:26
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