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uchinyan |
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はい、こんにちは。
少し考えましたが、結局、よくやるように 平面AEGC 上に射影してやりました。 まず、P を通り AG に垂直な平面が、BF を切る点を S とします。 直方体の辺の長さから、△EFG は 3：4：5 の直角三角形なので、EG = EF * 5/4 = 12 * 5/4 = 15 cm、 すると、△AEG も 3：4：5 の直角三角形なので、AG = AE * 5/4 = 20 * 5/4 = 25 cm になります。 なお、PG = AG - AP = 25 - 12 = 13 cm です。 ここで、B, F, S から 平面AEGC 上に垂線を下ろし、その足を B', F', S' とします。(B' は以下では使いませんが．．．) このとき、S'F' = SF なので、平面AEGC 上での S'F' を求めればOKです。 3：4：5 の直角三角形の相似を使って、EF' = EF * 4/5 = 12 * 4/5 = 48/5 cm になります。 (なお、以下では使いませんが、GF' = FG * 3/5 = 9 * 3/5 = 27/5 cm です。) さて、P を通り AG に垂直な平面は、平面AEGC 上では、P を通って AG に垂直な直線です。 また、平面AEGC は、P を通り AG に垂直な平面と垂直なので、当然、F' はこの直線上にあります。 この直線と AE との交点を Q とすると、またもや 3：4：5 の直角三角形の相似を使って、 AQ = AP * 5/4 = 12 * 5/4 = 15 cm、QE = AE - AQ = 20 - 15 = 5 cm になります。 また、P から AG に下ろした垂線の足を R とすると、相似の関係から、 PR = AE * PG/AG = 20 * 13/25 = 52/5 cm、ER = EG * AP/AG = 15 * 12/25 = 36/5 cm です。 そこで、やはり相似、というよりも比例？、の関係から、 S'F' = QE + (PR - QE) * EF'/ER = 5 + (52/5 - 5) * 48/5 * 5/36 = 5 + 27/5 * 4/3 = 61/5 cm つまり、SF = S'F' = 61/5 cm になります。 なお、 ＞空間座標で解いたら負けかな、と思いま...せん？(^^;） あは、全然思いません (^^; 確かに簡単で、例えば、G を原点、GH を x 軸、GF を y 軸、GD を z 軸として、 AG^2 = 12^2 + 9^2 + 20^2 = 625 = 25^2 P = PG/AG * (12,9,20) = 13/25 * (12,9,20) 先ほどの求める S の z 座標を z として S(0,9,z) なので、 ベクトルGA⊥ベクトルPS −＞ ベクトルGA・ベクトルPS = 0 全体を 25 倍すれば、結局、 12 * (0 - 13 * 12) + 9 * (25 * 9 - 13 * 9) + 20 * (25 * z - 13 * 20) = 0 20 * 25 * z = 13 * (12^2 + 9^2 + 20^2) - 9^2 * 25 = 13 * 25^2 - 9^2 * 25 20 * z = 13 * 25 - 9^2 = 13^2 + 13 * 12 - 9^2 = 22 * 4 + 13 * 12 z = (22 + 39)/5 = 61/5 cm 計算をうまくやれば、暗算モードでしょうか．．．？ 簡単にできるならば、その方がいいかなぁ、という気も (^^; |
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ネコの住む家
6月1日（木） 22:05:00
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