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uchinyan |
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#27503
スモークマンさん、解答ありがとうございます。正解です ^^/ 少し、コメントなど。 ＞逐一計算して、 ＞210526315789473684 の18桁。 この計算を少し詳しく書いておくと．．． 求める数は、○4、と書けます。 4 を先頭にもっていくと、4○ で、これが 2 * ○4 = □8 に等しいので、4○ = □8 となり、 ○ 自体が 2○8 と書けることが分かります。つまり、求める数は 2○84 です。同様にして、 2○84 -> 42○8 = 4□68 -> 2○684 -> 42○68 = 4□368 -> 2○3684 -> 42○368 = 4□7368 -> 2○73684 -> 42○7368 = 4□47368 -> 2○473684 -> 42○47368 = 4□947368 -> 2○9473684 -> 42○947368 = 4□8947368 -> 2○89473684 -> 42○8947368 = 4□78947368 -> 2○789473684 -> 42○78947368 = 4□578947368 -> 2○5789473684 -> 42○578947368 = 4□1578947368 -> 2○15789473684 -> 42○1578947368 = 4□31578947368 -> 2○315789473684 -> 42○31578947368 = 4□631578947368 -> 2○6315789473684 -> 42○631578947368 = 4□2631578947368 -> 2○26315789473684 -> 42○2631578947368 = 4□52631578947368 -> 2○526315789473684 -> 42○52631578947368 = 4□052631578947368 -> 2○0526315789473684 -> 42○052631578947368 = 4□1052631578947368 -> 2○10526315789473684 -> 42○1052631578947368 = 4□21052631578947368 -> ○、□ともになしで OK で、結局、210526315789473684 が求める最小の数で、桁は18桁になります。 さて、その後の議論は、背景を探る意味で重要です。 ＞もとの数をn桁とする。もとの数を10*x+4 とすると、xは n-1 桁。 ＞4*10^(n-1)+x=2(10*x+4) だから、 結局、x = (4 * 10^(n-1) - 8)/19 ですね。 ＞しかし、x と最初求めた数 21052631578947368(4) と違うなあ・・・？ 求めるのは、x ではなく、10 * x + 4 で、しかも、x = (4 * 10^(n-1) - 8)/19 なので、 当然のことながら、1/19 の循環部分とは異なっています。これについては、後で解説します。 それ以外は書かれている通りですが、x が整数なので、 4 * 10^(n-1) - 8 ≡0 (mod 19) 10^(n-1) ≡ 2 (mod 19) 議論されている通り、10^k ≡ 1 (mod 19) の最小の k は 18 なので、 10^18 ≡ 1 ≡ 20 (mod 19) 10^17 ≡ 2 (mod 19) となり、最小の n は、n - 1 = 17 より n = 18 で、求める最小の数の桁数が 18 桁なのは、 1/19 の小数第10位ぐらいまでの計算で分かります。 もっとも、最小の数自体は、頑張って、循環するまでやらないとダメですが。 なお、一般解は、10^18 ≡ 1 (mod 19) に注意して、 10 * (4 * 10^(n-1) - 8)/19 + 4, ただし n は n ≡ 0 (mod 18) となる正の整数 とも書けます。 ここまでくれば、この問題も循環小数と深い関係があることが分かると思います。今回は、 1/19 = 0.052631578947368421052631578947368421… です。次の関係、 2/19 = 20/10 * 1/19 = (1/10 + 19/10) * 1/19 = 1/10 * 1/19 + 1/10 4/19 = 2 * 2/19 = 1/10 * 2/19 + 2/10 を使うと、 1/19 = 000.052631578947368421052631578947368421… 2/19 = 00.1052631578947368421052631578947368421… 4/19 = 0.21052631578947368421052631578947368421… なので、 10 * (4 * 10^(n-1) - 8)/19 + 4 = 10^n * 4/19 - 80/19 + 4 = 10^n * 4/19 - 4/19 から、求める数は、4/19 の小数部分が打ち消すようにすればいいので、 10^18 * 4/19 = 210526315789473684.21052631578947368421052631578947368421… 00000 + 4/19 = 000000000000000000.21052631578947368421052631578947368421… ここで、「00000 + 」は、文字揃えのためで意味はありません。 そこで、求める最小の数は、210526315789473684 で、桁数は 18 桁、とすることもできます。 今回の問題にかこつけて遊んでみましたが、循環小数はいろいろと面白いですね ^^/ |
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ネコの住む家
5月30日（火） 12:43:25
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