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uchinyan |
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#27405
30 ？ n よりも小さくて、素数の平方数になっている数の、その素数を、n は必ず素因数として含む必要があります。 例えば、30 は OK ですが、32 は、3^2 = 9, 5^2 = 25 などと互いに素ですが、それらは素数ではありません。 7^2 = 49 未満では、2, 3, 5 を素因数にもつものが求める数の候補ですが、30 しかありません。 一方、7^2 = 49 を超えて 11^2 未満では、そうした最小の数は、2 * 3 * 5 * 7 = 210 ですが、これは、11^2 = 121 を超えるので NG です。 11^2 以上 13^2 未満で考えると、最小の候補は、2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310 ですが、これは、13^2 = 169 を超えるので、やはり NG です。 一般に、p_m を 11 以上の素数として、 (p_(m-1))^2 以上 (p_m)^2 未満での n の最小の候補 p1 * p2 * ... * p_(m-1)、ただし、p1, p2, .., p_(m-1) は p_m 未満の素数、が、 (p_m)^2 < p1 * p2 * ... * p_(m-1) となっている とします。実際、11, 13 では、今見たように成立しています。 すると、p_m の次の素数 p_(m+1) に対して (p_m)^2 以上 (p_(m+1))^2 未満で考えると、 最小の候補は p1 * p2 * ... * p_(m-1) * p_m で、(p_m)^2 * p_m < p1 * p2 * ... * p_(m-1) * p_m です。 ところが、例のチェビシェフの定理から、k >= 2 ならば k 〜 2k の間で新しい素数 p が必ず現れるので、 p_m < p < 2 * p_m となる p が存在し、p_m < p_(m+1) <= p < 2 * p_m です。 そこで、p_m >= 11 では、(p_(m+1))^2 < 4 * (p_m)^2 < (p_m)^2 * p_m < p1 * p2 * ... * p_(m-1) * p_m となり NG です。 したがって、最大の数は 30 と思われます。 |
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ネコの住む家
5月16日（火） 9:08:35
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