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uchinyan |
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再び、こんにちは。今回は難問のようですね。正解者の数が伸びない．．．
さて、#27370の解答の解法です。二つほど、思いつきました。 どちらも、相似だけを使っているので、算数の範囲だと思いますが、文字式の扱い、方程式の心得などがないと、ちょっと辛いかな．．． (解法1) 最初に思いついた解法です。以前の算チャレ問題、あ、全く異なる問題ですが、それの私の解法を真似てみたら、できてしまいました (^^; AR を A の方に、BQ を B の方に延長して、その交点を O とします。 明らかに、△OBC と △OQR は相似です。そこで、 △OQR = (QR/BC)^2 * △OBC 台形BQRC = △OQR - △OBC = ((QR/BC)^2 - 1) * △OBC です。同様に、△ABC、つまり、ア、と △PQR、つまり、イ、も相似です。そこで、与えられた条件も使って、 △PQR = (QR/BC)^2 * △ABC = △ABC + 10 ((QR/BC)^2 - 1) * △ABC = 10 したがって、 台形BQRC：10 = △OBC：△ABC = OC：AC になります。 ここで、A より BQ に平行に線を引いて BC との交点を F とすると、OC：AC = CB：CF です。 △BAF は二等辺三角形なので、FB = AB になり、CF = CB - FB = CB - AB になります。 ここで、△CAB と △CED が相似であることに注意すると、BC：BA = DC：DE = 21：19 なので、 CB = BC = 21 とおいて AB = BA = 19 で、CF = 21 - 19 = 2 となり、OC：AC = 21：2 です。 よって、 台形BQRC：10 = 21：2 台形BQRC = 10 * 21/2 = 105 cm^2 になります。 (解法2) 結果としてはより簡単か、とも思いますが、気付くかどうかという点では、少なくとも私には、(解法1)よりも難しいです。 台形ABQP と 台形BQRC との関係に注目します。 まず、この二つの台形は、平行線の間隔が同じなので、高さが等しくなります。これを、(高さ) と書くことにします。 また、△BAC と △QPR は相似で、さらに、△DEC とも相似です。そこで、AB：BC = PQ：QR = DE：DC = 19：21 です。 そこで、AB = 19/21 * BC、PQ = 19/21 * QR になります。よって、 台形ABQP：台形BQRC = 1/2 * (AB + PQ) * (高さ)：1/2 * (BC + QR) * (高さ) = (AB + PQ)：(BC + QR) = (19/21 * (BC + QR))：(BC + QR) = 19：21 になります。一方で、アとイの条件から、 台形ABQP = ア + □BQPC = ア + □BQPC + イ - イ = □BQPC + イ - (イ - ア) = 台形BQRC - 10 なので、先ほどの比の関係と合わせて、 (台形BQRC - 10)：台形BQRC = 19：21 = (21 - 2)：21 これから、2 = 21 - 19 に注意して、方程式は解かないで (^^; 台形BQRC = 10 * 21/(21 - 19) = 10 * 21/2 = 105 cm^2 になります。 |
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ネコの住む家
5月11日（木） 13:25:14
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