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uchinyan |
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#27343
＞チェビシェフの定理のエルデシュさんの証明のPDFを見つけました。 ＞http://www.cmo.jp/users/tapooh/academic/archives/chebyshev.pdf ＞or ＞http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/chebyshev.pdf どちらも数ページのものですので、一通り、読んでみました。あ、もちろん、日本語です ^^; チェビシェフの定理のエルデシュさんの証明を下地にしているようですが、その単なる紹介又は翻訳ではなくて、 各著者又は各著者が直接に参考にした証明の影響を受けて、もちろん、基本は同じですが、細部は微妙に工夫されているようです。 証明のポイントは、どちらも、 n < p < 2n なる素数 p が存在しないと仮定して、二項係数 C(2n,n) = (2n)!/n!n! を評価すると、矛盾が導かれる。 という単純なものです。使っている道具も、単なる文字式の計算と不等式の評価ぐらいで、初等的です。 恐らく、これがエルデシュさんの証明の本質なのでしょう。 しかし、単純だからといって、証明自体が簡単又は分かりやすいか、というと必ずしもそうではなく、 矛盾を導くための C(2n,n) の評価が難しいです。 そう、ちょうど、数学オリンピックの難問のような感じ、でしょうか。 数学オリンピックの問題をスラスラ解ける人ならば、独自に考え付くことも可能か、と思います。 なお、二つの証明は同じことをしているのですが、具体的な式の与え方などが微妙に違うので、比べてみると、更に理解が進むと思います。 実際の詳細は、煩雑ですし、読んでもらう方がいいと思うので省略します。 なお、 ＞ただ、エルデシュさんによる拡張 ＞＞6より大きい整数nに対し、 n < p < 2n なる素数pは少なくとも2つ存在する ＞の方は、まだ見つかりません (^^; は、結局、オンラインでは見つかりませんでしたが、http://mathworld.wolfram.com/ChoquetTheory.html に、 Choquet Theory (何と訳すのでしょうか？) ... Erdos proved that there exist at least one prime of the form 4k+1 and at least one prime of the form 4k+3 between n and 2n for all n > 6. エルデシュは、n > 6 となるすべての n に対して、n と 2n との間に、 4k+1 型及び 4k+3 型の素数が少なくとも一つずつ、存在することを証明した。 ... REFERENCES: 参考文献： Erdos, P. "A Theorem of Sylvester and Schur." J. London Math. Soc. 9, 282-288, 1934. とありました。 ただ、スモークマンさんの思いつき問を解くには、n >= 6 で n と 2n との間に素数が少なくとも二つ存在することだけで十分ですが、 これならば、先ほどの、チェビシェフの定理のエルデシュさんの証明、をちょっと改良すれば、簡単に証明できるようです。 これでこの問題は、派生問題はおいといて (^^;、一応、一段落でしょうか。 |
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ネコの住む家
5月9日（火） 11:51:03
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