|
uchinyan |
|
#27330, #27329
考え方はOKですが、計算ミスがあるようです。答えは、 (1) 書ける。(2) 書けない。(3) 書けない。(4) 書けない。 になります。 ポイントは、スモークマンさんのご指摘どおり、アとイとから作られる数をウとすると、 ウ＋１＝(ア＋１)×(イ＋１) になることです。これは、黒板に書かれているすべての数に対していえます。 そこで、ア＋１ なども分解できて、結局、最初に与えられている、1 + 1 = 2 と 2 + 1 = 3 までたどり着きます。最後の二つは、分解できません。 これを逆の見方をすると、黒板に書ける数に +1 した数は、必ず、2 又は 3 だけが素因数になる数、ということになります。 したがって、+1 した数を素因数分解してみて、 (1) 13121 + 1 = 13122 = 2^1 * 3^8 で、書ける。 (2) 12131 + 1 = 12132 = 2^2 * 3^2 * 337 で、書けない。 (3) 21311 + 1 = 21312 = 2^6 * 3^2 * 37 で、書けない。 (4) 31211 + 1 = 31212 = 2^2 * 3^3 * 17^2 で、書けない。 となります。 一般に、素数 p に対しては、p = p * 1 しか可能でないので、+1 の形式に変形しようとしても、 (p-1) + 1 = p = p * 1 = ((p-1) + 1) * (a + 1) となるような a は、最初に与えられている数が 1, 2 では構成できません。 したがって、+1 した数を素因数分解したときに 2, 3 以外の素数が現れる場合には黒板には書けません。 書けるようにするには、その素数 p に対して p-1 を最初に与えておく必要があります。そこで、 (2) 337 - 1 = 336 を、最初に与える数に追加する。 (3) 37 - 1 = 36 を、最初に与える数に追加する。 (4) 17 - 1 = 16 を、最初に与える数に追加する。 となります。 なお、0 は、すべての数 a に対して、 0 * a + 0 + a = a で不変なので、追加してもいいですが、実用上意味はありません。 算チャレ問題風としては、例えば、 考える数の範囲を自然数として、この規則で 1 〜 100 までのすべての数が得られるようにするには、 少なくとも最初にいくつの異なる数を与える必要がありますか？ という問題にしてみてもいいでしょうね。 答えは、ちょっと注意が必要ですが、まぁ、もう皆さんにも分かるでしょうから、敢えて書かないでおきましょう (^^; なお、この問題の本質は、f(x) = x+1 の変換で、与えられた規則で構成される集合と、通常の掛け算で構成される集合とが、 同じ構造をもつことにあるそうです。あ、ここらは、半分は、受け売りです。悪しからず (^^; 当たり前のような話ですが、結構根は深く、大学レベルの代数学などでの基本的な概念である、 二つの集合がある演算に関して同じ構造をもつという「同型」(又は「準同型」。f の定義域と値域に依存します。)という概念、 と関係しているようです。 試しに、規則の演算を @ として a @ b = a * b + a + b から、f(a @ b) = f(a) * f(b) がいえ、 掛け算 * の結合法則、交換法則、単位元の存在などの @ 対応版がいえること、 さらに、通常の足し算 + に対して、a # b = a + b + 1 を導入すると、同様のことがいえ、分配法則もいえること、 などが分かると思います。 したがって、これらから構成される数の集合は、これらの演算に関して同じ性質をもつことになります。 今回の問題は、それを、素数、素因数分解などに特化したものと考えられます。 |
|
ネコの住む家
5月7日（日） 13:01:40
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27331 |