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uchinyan |
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はい、こんにちは。今回は、答えはそれなりに求まったものの、最初は、どうも今一つでした。．
その後、少し考え出したら、次々といろんな解法を思いつきました。 皆さんと同じかともと思いますが、折角なので、一応、書いておきます。 まずは、今朝、頭の中で考えた解法から。 (解法1) ひらめかなかったので、地道に数えました。 (1) アが 1 の場合：エは、4 〜 14 です。 (1-1) エが 4 の場合：イ + ウ = 5 で、イ < ウ なので、1 通り。 (1-2) エが 5 の場合：イ + ウ = 6 で、イ < ウ なので、1 通り。 (1-3) エが 6 の場合：イ + ウ = 7 で、イ < ウ なので、2 通り。 (1-4) エが 7 の場合：イ + ウ = 8 で、イ < ウ なので、2 通り。 (1-5) エが 8 の場合：イ + ウ = 9 で、イ < ウ なので、3 通り。 (1-6) エが 9 の場合：イ + ウ = 10 で、イ < ウ なので、3 通り。 ．．． (1-9) エが 12 の場合：イ + ウ = 13 で、イ < ウ なので、5 通り。 (1-10) エが 13 の場合：イ + ウ = 14 で、イ < ウ なので、5 通り。 (1-11) エが 14 の場合：イ + ウ = 15 で、イ < ウ なので、6 通り。 つまり、(1 + 2 + 3 + 4 + 5) * 2 + 6 通り。 これで、大体、規則性が見えてきています。 (2) アが 2 の場合：エは、5 〜 14 です。 (2-1) エが 5 の場合：イ + ウ = 7 で、イ < ウ なので、1 通り。 (2-2) エが 6 の場合：イ + ウ = 8 で、イ < ウ なので、1 通り。 (2-3) エが 7 の場合：イ + ウ = 9 で、イ < ウ なので、2 通り。 (2-4) エが 8 の場合：イ + ウ = 10 で、イ < ウ なので、2 通り。 ．．． (2-9) エが 13 の場合：イ + ウ = 15 で、イ < ウ なので、5 通り。 (2-10) エが 14 の場合：イ + ウ = 16 で、イ < ウ なので、5 通り。 つまり、(1 + 2 + 3 + 4 + 5) * 2 通り。 最後が一つずれるのがポイントです。 同様にして、 (3) アが 3 の場合：エは、6 〜 14 です。 (1 + 2 + 3 + 4) * 2 + 5 通り。 (4) アが 4 の場合：エは、7 〜 14 です。 (1 + 2 + 3 + 4) * 2 通り。 (5) アが 5 の場合：エは、8 〜 14 です。 (1 + 2 + 3) * 2 + 4 通り。 (6) アが 6 の場合：エは、9 〜 14 です。 (1 + 2 + 3) * 2 通り。 (7) アが 7 の場合：エは、10 〜 14 です。 (1 + 2) * 2 + 3 通り。 (8) アが 8 の場合：エは、11 〜 14 です。 (1 + 2) * 2 通り。 (9) アが 9 の場合：エは、12 〜 14 です。 1 * 2 + 2 通り。 (10) アが 10 の場合：エは、13 〜 14 です。 1 * 2 通り。 (11) アが 11 の場合：エは、14 だけです。 1 通り。 これですべてです。結局、 ((1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2) + 1) * 4 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = (1 + 3 + 6 + 10 + 15) * 4 + 21 = 35 * 4 + 21 = 161 通り (解法2) (解法1)と同様に数え上げですが、場合分けの仕方が少し違います。この方が簡単かもしれない．．．？ アとエを決めると、イとウは、アとエの間に ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めてやればいいことになります。 そこで、エ−ア の可能な範囲で分類すると、 ・エ−ア = 13 の場合 エ−ア = 13 となるアとエは、1 通り。 イとウは、残りの 12 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 6 通り。 ・エ−ア = 12 の場合 エ−ア = 12 となるアとエは、2 通り。 イとウは、残りの 11 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 5 通り。 ・エ−ア = 11 の場合 エ−ア = 11 となるアとエは、3 通り。 イとウは、残りの 10 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 5 通り。 ・エ−ア = 10 の場合 エ−ア = 10 となるアとエは、4 通り。 イとウは、残りの 9 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 4 通り。 ・エ−ア = 9 の場合 エ−ア = 9 となるアとエは、5 通り。 イとウは、残りの 8 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 4 通り。 ・エ−ア = 8 の場合 エ−ア = 8 となるアとエは、6 通り。 イとウは、残りの 7 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 3 通り。 ・エ−ア = 7 の場合 エ−ア = 7 となるアとエは、7 通り。 イとウは、残りの 6 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 3 通り。 ・エ−ア = 6 の場合 エ−ア = 6 となるアとエは、8 通り。 イとウは、残りの 5 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 2 通り。 ・エ−ア = 5 の場合 エ−ア = 5 となるアとエは、9 通り。 イとウは、残りの 4 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 2 通り。 ・エ−ア = 4 の場合 エ−ア = 4 となるアとエは、10 通り。 イとウは、残りの 3 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 1 通り。 ・エ−ア = 3 の場合 エ−ア = 3 となるアとエは、11 通り。 イとウは、残りの 2 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 1 通り。 これですべてです。結局、 1 * 6 + 2 * 5 + 3 * 5 + 4 * 4 + 5 * 4 + 6 * 3 + 7 * 3 + 8 * 2 + 9 * 2 + 10 * 1 + 11 * 1 = 6 + 10 + 15 + 16 + 20 + 18 + 21 + 16 + 18 + 10 + 11 = 161 通り (解法3) その後、仕事の合間に考えた解法です。でも、算数ではないですね。 ア = a, イ = b, ウ = c, エ = d とします。すると、 a + d = b + c, 1 <= a < b < c < d <= 14 です。等式を変形して、 b + (c - b - 1) + (b + 1) = a + d 2 * (b - a - 1) + (c - b - 1) + 2 * a + 3 = a + d (a - 1) + 2 * (b - a - 1) + (c - b - 1) = d - 4 (a - 1) + 2 * (b - a - 1) + (c - b - 1) + (14 - d) = 10 ここで、x = a - 1, y = b - a - 1, z = c - b - 1, u = 14 - d とおくと、 x + 2y + z + u = 10, x >= 0, y >= 0, z >= 0, u >= 0 になります。この解の組の個数を求めればいいことになります。ただ、残念ながら、y の係数が 1 ではないので、場合分けします。 ナイーブには 0 <= y <= 10 ですが、x >= 0, z >= 0, u >= 0 にも注意すると、0 <= y <= 5 になり、 x + z + u = 10 - 2y, x >= 0, z >= 0, u >= 0 各 y に対する、(x,z,u) の解の個数は、(12-2y)C2 個なので、結局、元の不定方程式の解の個数は、 12C2 + 10C2 + 8C2 + 6C2 + 4C2 + 2C2 = 66 + 45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 161 そこで、元の ア＋エ＝イ＋ウ の取り出し方は、161 通り。 (解法4) あー、(解法2)＆(解法3)を書いていて思いついた解法。これならば、何とか算数かな？ ア＋エ＝イ＋ウ を エ−ウ＝イ−ア と変形してみます。すると、1 〜 14 の範囲の制限より、差は、1 〜 6 しかありえません。 しかも、差をこの範囲で一つ決めると、ア、ウを決めることで、イ、エは一つに決まってしまいます。 差を 1 とできるのは、ナイーブには 13 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 12 通りです。 そこで、アとウを選んで 12C2 通り。 差を 2 とできるのは、ナイーブには 12 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 10 通りです。 そこで、アとウを選んで 10C2 通り。 差を 3 とできるのは、ナイーブには 11 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 8 通りです。 そこで、アとウを選んで 8C2 通り。 差を 4 とできるのは、ナイーブには 10 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 6 通りです。 そこで、アとウを選んで 6C2 通り。 差を 5 とできるのは、ナイーブには 9 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 4 通りです。 そこで、アとウを選んで 4C2 通り。 差を 6 とできるのは、ナイーブには 8 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 2 通りです。 そこで、アとウを選んで 2C2 通り。 これですべてです。結局、 12C2 + 10C2 + 8C2 + 6C2 + 4C2 + 2C2 = 66 + 45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 161 通り (解法5) (解法4)を書き上げて、ふと思いついた解法。(解法4)では差に注目しましたが、和のままでもできますね。 もっとも、これは、実は、(解法1)と等価です。一巡しました (^^; ア＋イ＋ウ＋エ を考えると、1 + 2 + 3 + 4 = 10 〜 50 = 11 + 12 + 13 + 14 なので、ア＋エ＝イ＋ウ は、5 〜 25 の範囲をとります。 そして、5 〜 14 と 16 〜 25 とは、15 に関して対称というか、少なくとも個数に関しては同じになります。 さらに、和を 5 〜 15 範囲で一つ決めると、ア、イを決めることで、ウ、エは一つに決まってしまいます。 和を 5 とできるのは、2 通りになり、アとイを選んで 2C2 通り。 和を 6 とできるのは、2 通りになり、アとイを選んで 2C2 通り。 和を 7 とできるのは、3 通りになり、アとイを選んで 3C2 通り。 和を 8 とできるのは、3 通りになり、アとイを選んで 3C2 通り。 和を 9 とできるのは、4 通りになり、アとイを選んで 4C2 通り。 和を 10 とできるのは、4 通りになり、アとイを選んで 4C2 通り。 和を 11 とできるのは、5 通りになり、アとイを選んで 5C2 通り。 和を 12 とできるのは、5 通りになり、アとイを選んで 5C2 通り。 和を 13 とできるのは、6 通りになり、アとイを選んで 6C2 通り。 和を 14 とできるのは、6 通りになり、アとイを選んで 6C2 通り。 和を 15 とできるのは、7 通りになり、アとイを選んで 7C2 通り。 これと、対称な 16 〜 25 ですべてです。結局、 ((2C2 + 3C2 + 4C2 + 5C2 + 6C2) * 2) * 2 + 7C2 = ((1 + 3 + 6 + 10 + 15) * 2) * 2 + 21 = (35 * 2) * 2 + 21 = 161 通り まだまだ、ありそうな気が．．． 掲示板読んで勉強します ^^/ |
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ネコの住む家
4月7日（金） 9:04:09
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