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uchinyan |
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スモークマンさん、なかさん、凸六角形の問題ですが、反例が作れそうです！
．．． と書き出したら、既に、なかさんが#27081で示されていましたね。先を越されたか．．． 「ルーローの三角形」というのは知りませんが、これは何？、論理的に詰めきれないので、ひょっとして？、と思いました。 (ごめんなさい。以降、少し冗長というか、ムダがありました。修正しました。) (さらに、結論は変わりませんが、誤りがありました。訂正します。) 正六角形を引っ張るのではなく頂点を押し込む、というか、正三角形の各辺を引っ張る、というか、 そうしてできる、辺の長さがすべて a、対角線の長さがすべて b の六角形を考えてみました。 [ここに誤りがありました。対角線の長さがすべて b、が間違いです。] 作成する六角形の辺の長さはすべて a とします。 さらに、より分かりやすそうな、正三角形の各辺の中点 M を引っ張っぱる構成法で考えます。 ただし、引っ張るのは、正六角形にならない範囲とします。 元の正三角形の一辺の長さを b、 M を引っ張ってできる点と中心に関して反対側にある正三角形の頂点とを結んだ対角線の長さを c、 M を引っ張ってできる点同士を結んだ対角線の長さを d とします。対角線はこの三種類ですべてです。 すると、正六角形にはならない範囲で考えているので、d < b です。 また、余弦定理を使った計算で、 a^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos(30) = b^2 + c^2 - sqrt(3) * b * c がいえます。そこで、b >= c (> sqrt(3)/2 * b、これは引っ張るからで、凸六角形に対応します。) を考えれば、 b が最長の対角線になるので、b と a とで考えればいいことになります。 ここで、簡単なために、c = b としてみます。すると、 a^2 = b^2 + b^2 - sqrt(3) * 2 * b * b = (2 - sqrt(3)) * b^2 がいえます。a, b > 0 で解くと、 a = sqrt(2 - sqrt(3)) * b b = sqrt(2 + sqrt(3)) * a = (sqrt(6) + sqrt(2))/2 * a = 1.93185... * a になります。これは、a > 1, 0 < b <= 2 で解があります。 つまり、これが反例になります。 [ここまでが訂正です。] なかさんの実例は、私の例で、a = 1.02 の場合のようです。 何故、こんなのを考えたかを少し追記しておきましょう。 私の最初の直感の#27067では、正六角形の頂点を引っ張ることだけを考えていました。 これは、押し込む場合は、どこかがその分だけ押し出されて、引っ張る場合と等価になるような気がしたからです。 しかしこれは、辺の長さが不変ならば正しそうですが、 今の場合、辺の長さが 1 より大の範囲で短くなっても構わないので、全くのウソでした。 そこで、押し込む場合を再考していて、待てよ、となったわけです。 対角線を b = c にしてみたのは、取り敢えず簡単な場合を考えて、少しずつ変形して行こうと思ったわけです。 しかし、これで反例が見つかったのは、運がよかったというか、全くの偶然でした (^^; |
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ネコの住む家
4月2日（日） 23:21:21
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